26. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ В MATHCAD

В MathCad существуют три основных способа организации символьных выкладок: с помощью команд через символьное меню Symbolics и соответствующие подменю; с помощью панели инструментов Symbolic и с п о-

мощью процедур пользователя.

Первый способ обеспечивает диалоговый режим работы, в результате чего ниже исходного преобразуемого выражения размещается результат символьной операции, который сохраняется в случае записи файла и в последующем может быть преобразован далее. При этом нет возможности присвоить новый результат какой-либо переменной. Этот способ удобен при непосредственных выкладках в диалоговом режиме, обладает минимальной гибкостью.

Второй способ включает использование заданной последовательности команд в автоматическом режиме и позволяет присвоить получаемый символьный результат заданной переменной, которая может быть скаляром или матрицей. При этом каждый раз при вызове рабочего листа заданные таким образом символьные операции пересчитываются вновь, как и при численных вычислениях. Это, с одной стороны, замедляет работу (при продолжении выкладок после сохранения файла приходится ожидать выполнения всех заложенных ранее операций), а с другой – позволяет заранее продумывать последовательность операций и выстраивать их конвейер. При соответствующем программировании изменения в исходных данных могут автоматически приводить к новому результату.

Третий способ напоминает второй, но выполняется с помощью проце-

дур пользователя, которые создаются с использованием инструментов обычного программирования – панели инструментов Programming Toolbar. При

этом можно использовать многие приёмы, отработанные для численного программирования, но при этом возникают и специфические проблемы, нигде практически не оговорённые.

На кафедре САПР Политехнического института СФУ под руков о- дством заведующего кафедрой доктора технических наук профессора С. А. Бронова ведутся работы по развитию использования универсальных математических программ, в том числе символьных процессоров, в научных исследованиях и учебном процессе.

При выполнении символьных матричных операций в ряде случаев необходимо создать исходный материал в виде матриц и векторов. Для этого можно использовать простейшие операции программирования, полностью напоминающие обычные символьные операции – см. рис. 26.1. Здесь операции просто реализуются и избавляют от необходимости прописывать большие матрицы и векторы в общем виде.

Процедура на рис. 26.2. позволяет сформировать матрицу с элементами, представляющими собой одну и ту же функцию с разными аргументами.

В данном случае в качестве аргумента использовался угол θ, а задаваемая функция – косинус. Это позволяет заполнять большие матрицы соответствующими функциями в автоматическом режиме. Данная процедура используется, в частности, для задания матриц косинусоидальных индуктивностей в моделях электрических двигателей. Для трёхфазного асинхронного двигателя необходимо задать 6× 6 = 36элементов с собственными амплитудами и а р- гументами (фазами).

 Математическое программное обеспечение. Учебное пособие

-245-

26. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ В MATHCAD

MForm(N,M,A) :=

for j 1.. N

Входные данные:

for

k 1.. M

N – число строк формируемой матрицы;

zj , k ← Aj, k

M – число столбцов формируемой матрицы;

A – символ для обозначения элементов

z

формируемой матрицы

Число строк:

N := 3

a1,1

a1,2

a1,3

a1,4

Число столбцов: M := 4

a

a

a

a

I := MForm(N,M,a) →

2,1

2,2

2,3

2

,4

a

a

a

a

3,1 3,2

3,3 3

,4

а) формирование символьной матрицы

VForm(N,A) :=

for

j 1.. N

Входные данные:

zj ← Aj

N – размерность формируемого вектора;

A – символ для обозначения элементов

z

формируемого вектора

Размер вектора:

N := 3

x1

X := VForm(N,x) → x2

x

3

б) формирование символьного вектора

MSim(A) :=

N ← cols(A)

Входные данные:

for

j 1.. N

A – исходная квадратная матрица

for

k j .. N

Ak, j ← Aj, k

A

Исходная матрица

:

d

d

d

d

d

1,1

d

1,2

d

1,3

d

1,

4

1,1

1,

2

1,

3

1

,4

d

d2,2

d2,3 d2

2,1

d

2,2

d

2,3

d

2,

4

d1,2

,4

D :=

d

d

d

Dsim := MSim(D) → d

1,3

d

2,

3

d

3,

3

d

3

,4

d

3,1

3,2

3,3

3,

4

d

d

d

d

d4,1 d4,2 d4,3 d4,4

1,4

2,

4

3,

4

4

,4

в) симметрирование матрицы

d

1,1

d

1,

2

d

1,3

d

1

,4

Входные данные:

d

N – число строк и столбцов формируемой

d

d

d

Dsim := MSim(D) →

1,2

2,

2

2,3

2

,4

квадратной матрицы;

d

1,3

d

2,

3

d

3,3

d

3

,4

V – символ или число, размещаемое по

диагонали формируемой матрицы

d1,4 d2,4 d3,4 d4,4

W

0

Размер матрицы: N := 3

0

Ds := MDiagSim(N,W)

0

W

0

→

0

0

W

г) формирование диагональной матрицы

Рис. 26.1

 Математическое программное обеспечение. Учебное пособие

-246-

26. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ В MATHCAD

MFun(N,M,A,F ,θ) :=	for	j 1.. N
	for	k 1.. M
	zk, j ← Ak, j F(θk, j)
	z

Входные данные:

N – число строк формируемой матрицы; M – число столбцов формируемой матрицы;

A – символ или число, размещаемое перед функцией;

F – функция;

X – аргумент функции.

	U1		,1	cos(θ1		,1)		U1	,2	cos(θ1		,2)		U1	,3	cos(θ1		,3)		U1	,4	cos(θ1		,4)
Fun := MFun(4,3,U,cos ,θ) →	U			cos(θ	2	,1	)	U		cos(θ	2	,2	)	U		cos(θ	2	,3	)	U		cos(θ	2	,4	)
		2,1						2,2						2,3						2,4
				cos(θ3		,1)		U3,2		cos(θ3		,2)		U3,3		cos(θ3		,3)		U3,4		cos(θ3
	U3,1																							,4)

Рис. 26.2

Процедура на рис. 26.3 позволяет выполнять символьное дифференцирование матриц. В MathCAD символьное дифференцирование выполняется очень хорошо, позволяя продифференцировать даже сравнительно сложные выражения, но работает только со скалярными функциями. Чтобы дифференцировать матрицы и векторы, приходится воспользоваться циклом, а для этого создаётся специальная процедура, в которую вводится исходная подлежащая дифференцированию матрица и её аргумент. Важно, чтобы ранее эта матрица была записана как функция с аргументом, по которому затем будет производиться дифференцирование.

MDif(A,x) :=	M ← cols(A(x))
	N ← rows(A(x))
	for	j 1.. N
	for	k 1.. M
	zj, k ← d A(x) j,
		dx
	z

Входные данные:

A – матрица с подлежащими дифференцированию элементами;

X – аргумент функции.

Исходная матрица с функция-

cos( t)

0

−sin( t)

ми:

2 cos(t2) t

2 e2 t

1

sin(x)

17

cos(x)

dGT := MDif(GT , t) →

1

2 t 2

GT(x) := sin(x2)

exp(2 x)

x

2

2

0

3

t

2

+ 2 tan(2

t)

x3

0

tan(2 x)

Рис. 26.3

Процедура на рис. 26.4 позволяет выделить из системы линейных алгебраических уравнений матрицу.

 Математическое программное обеспечение. Учебное пособие

-247-

26. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ В MATHCAD

MElimi n(A,Nv) :=							NA ← rows(A( v))
							for j 1.. Nv
								for k 1.. Nv
								vk ← 0
								vj ← 1
								for k 1.. NA
								Zk, j ← A( v) k
							Z
Исходная система уравнений:
a1.1	x	1	+ a1.2 x	2				x	1
	x2		+ a2.3 x3
R(x) := a2.2							Вектор: x := x2
a x		1	+ a x	3				x	3
3.1			3.3

Входные данные:

A – матрица-столбец с линейными уравнениями;

Nv – размерность вектора.

a1.1		a1.2	0
	0	a2.2	a2.3
AX := MElimin(R ,3) →
a		0	a
	3.1		3.3

Рис. 26.4

Это бывает необходимо, когда вследствие символьных преобразований получена система линейных алгебраических уравнений вида

a1,1x1	+ a1,2x2 + + a1,n xn		u
	+ a2,2 x2 + + a2,n xn			1
a2,1x1			u2			,
			=
am,1x1 + am,2 x2 + + am,n xn			um

которую целесообразно далее перевести в матричную форму вида A x = u :

a1,1a2,1

am,1

a1,2 a1,n a2,2 a2,n

am,2 am,n

x		u
1		1
x2		u2
		=	.
xn		um

Так, в исходном виде уравнения записаны в строку и вся система представляет из себя матрицу-столбец, которая поступает в процедуру. Эта исходная матрица-столбец должна быть записана как функция от вектора, который должен быть пронумерован. Размерности вектора и исходной матри- цы-столбца могут быть разными, если число уравнений не равно числу переменных. Размерность исходной матрицы-столбца (число строк) определяется автоматически, а размерность вектора задаётся. Идея вычленения матрицы заключается в том, что в цикле все элементы вектора задаются равными нулю, кроме одного, который задаётся равным единице. Тогда все элементы с нулевыми сомножителями также обнуляются и исчезают, а при единичном сомножителе коэффициент выделяется и записывается в выходную матрицу.

Процедура на рис. 26.5 позволяет сформировать матрицу, отражающую

 Математическое программное обеспечение. Учебное пособие

-248-

26. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ В MATHCAD

структуру исходной матрицы – с нулевыми элементами на месте нулевых элементов исходной матрицы и ненулевыми элементами (заданной цифрой, например, единицей или символом). Такие матриц часто оказываются необходимы при анализе структур, для перехода от матриц к графам и т. п. Сложность реализации этой процедуры связана с тем, что символьный процессор не умеет определять наличие или отсутствие символа, т. е. операция сравнения x = 0? имеет смысл только для чисел.

WS(W , h, b) :=								N ← rows(W)
								M ← cols(W)
								for	k 1.. N
								for	j 1.. M
								Zk, j ←		W k,
										W k, j
								Z
Исходная матрица							с нулевыми
и ненулевыми элементами:
R	1,1		0	R	1	,3
		R2,2
W := R2,1					0
	0	R	3,2	R	3
						,3

Входные данные:

W – матрица;

h – вспомогательный параметр, задаваемый при вводе в виде любого символа;

b – число или символ, помещаемый вместо ненулевых элементов.

L 0 L SW := WS(W , h,L) substitute, h = 0 → L L 0

0 L L1 0 1

SW := WS(W , h,1) substitute, h = 0 → 1 1 00 1 1

Рис. 26.5

Данная процедура реализована в сочетании со вторым способом выполнения символьных операций. Математическая основа использованного приёма для определения наличия или отсутствия символьного выражения в соответствующей ячейке матрицы следующая. Символьно может выполниться операция

	Z	b ,
	Z + h

где Z – любое содержание ячейки (символ); h и b – вспомогательные символьные переменные, из которых b может быть также числом.

Если ячейка была пуста, то рассматриваемое выражение будет иметь вид

0 +0 h b = 0 ,

так как умножение на нуль символьный процессор "понимает" правильно и выдаёт нуль. Если бы в знаменателе не было символьной переменнойh, то получилось бы деление нуля на нуль, что символьный процессор понять не может.

Если ячейка не пуста, то в этом месте формируется выражение

 Математическое программное обеспечение. Учебное пособие

-249-

26. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ВЫКЛАДКИ В MATHCAD

	Z	b ,
	Z + h

которое затем обрабатывается в командном режиме с подстановкой значения h = 0, что означает:

	Z	b =	Z	b =1 b = b ,
	Z + 0		Z

и оно превращается в число или символ, заданный через параметр b.

Из изложенного видим, что программирование для символьного процессора, с одной стороны, весьма схоже с программированием обычных вычислений, но с другой – имеет массу нюансов и тонкостей, как правило, не документированных. Возможно, именно поэтому оно пока не получило значительного распространения и не вошло в учебные пособия по программированию, математическим и специальным дисциплинам. В то же время, оно может играть важную роль в инженерной деятельности и должно найти своё место в учебном процессе.

 Математическое программное обеспечение. Учебное пособие

-250-