Как понимать квантовую механику

12.8. РАЗЛОЖЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ**

353

Используя представление Гайзенберга, мы можем теперь получить временную эволюцию когерентного состояния со всеми фазовыми множителями:

|ψz (t)

ˆ −

|z|2

zaˆ†

−

|z|2

ˆ

zaˆ† ˆ

1

ˆ

−

|z|2

zaˆг†(

−

t)

·|0 t.

2

2

2

= Ute

·e

|0 = e

Ute

Ut−

·Ut|0 = e

e

Таким образом, используя соотношение aˆг†(t) = eiωt aˆ†, находим

|z|2

ωt

ωt

ψ

(t)

= e−

2

eze−iωt aˆ†

·

e−i 2

0

= e−i

2

ψ

z(t)

,

z(t) = ze−iωt.

| z

|

|

(12.42)

12.8. Разложение по когерентным состояниям**

Набор когерентных состояний со всевозможными параметрами z C не является линейно независимым и выступать в роли базиса в не может. Тем не менее, рассмотрим проекцию некоторого состояния |ψ = f (ˆa†)|0 на когерентное состояние |ψz .

2

dn2 f

x=0

∞

z

zn1

∞

n

− | 2|

dx 2

√n2!

|

|

√n1!

|

ψz ψ

=

n1

e

n2

=

n1=0

n2=0

∞

dnf

|z|2

zn

= e− 2

n=0 dxn

x=0 n! ,

|z|2

ψz

|

ψ

= e−

f (z)

(12.43)

2

— это амплитуда вероятности того, что находившаяся в состоянии ψ система будет найдена в когерентном состоянии ψz . Таким образом, введенная¨ ранее аналитическая функция комплексного аргумента f (z) приобрела физический смысл.

Комплексный аргумент z выражается через средние значения обезразмеренных координаты и импульса в когерентном состоянии ψz , что соответствует представлению оператора aˆ† через соответствующие операторы:

	Q − iP					ˆ ˆ
z =				,	aˆ† =	Q − iP			.
	√					√
		2					2

354

ГЛАВА 12

Обозначим |f = f (ˆa†)|0 .

Скалярное произведение должно быть определено так, чтобы выполнялось условие ортонормированности базиса стационарных состояний гармонического осциллятора:

	zn2		zn1
n2|n1 = 6	√n2!		√n1!	7	= δn2n1 .

В терминах функций f скалярное произведение может быть записано как интеграл по комплексной плоскости:

f

f

=

1

z

2

(12.44)

π

f (z) f (z) e−| |

dz dz .

2| 1

2

1

C

Мы видим, что между функциями комплексного аргумента z вида

1

e−

|z|2

F (z) =

2

f (z) и волновыми функциями ψ(x) =

x f (ˆa†)

0

L

(R)

√

π

|

|

2

имеется взаимно-однозначное соответствие.

iP

Функция F (z) = F

Q −

похожа на невозможный в квантовой

√

2

механике объект: волновую функцию, зависящую одновременно от координаты и соответствующего импульса.

Запишем матричные элементы от операторов aˆ† = z и aˆ =

d

:

dz

F

2|

aˆ†

F

1

=

F (z) z F

1

(z) dz dz .

|

2

C

1

d

F

aˆ F

=

e−zz f

(z)

f

(z) dz dz = F (z) z F

(z) dz dz .

dz

2| | 1

π

2

1

2

1

C

C

В последнем выражении интеграл по z взят по частям, с учетом¨ того, что

df2	= 0,	de−zz	= z e−zz .
dz		dz

Аналогичную формулу можно получить для любого произведения операторов aˆ и aˆ†, в котором множители упорядочены антинормальным упорядочением: сначала идут все множители aˆ, а потом — aˆ†

F2|aˆn2 aˆ†n1 |F1 = F2 (z) z n2 zn1 F1(z) dz dz .

C

12.8.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО КОГЕРЕНТНЫМ СОСТОЯНИЯМ**

355

Также и для

произвольной

антинормально

упорядоченной

функции

A(ˆa, aˆ†) 10 имеем

F

2|

A(ˆa, aˆ†)

F

1

=

F (z) A(z , z) F

1

(z) dz dz .

|

2

C

В частности для средних значений (диагональных матричных элементов) мы получаем такое выражение, как если бы функция |F (z)|2 была плот-

ность вероятности на комплексной плоскости z, т. е. совместным распреде-
√	√

лением вероятности по координате Q = 2Re z и импульсу P = − 2Im z:

F |A(ˆa, aˆ†)|F = |F (z)|2 A(z , z) dz dz .

C

Функция |F (z)|2, как и полагается настоящей плотности вероятности неотрицательна и нормирована на единицу.

При всем¨ сходстве с обычными волновыми функциями ψ(x), функция F (z) имеет ряд существенных отличий.

• Волновая функция ψ(x) задает¨ амплитуды вероятностей для разных

√

взаимоисключающих значений координаты x, а функция πF (z) задает¨ амплитуды вероятностей для когерентных состояний, которые не

только не ортогональны, но даже не являются линейно независимыми11.

–Аргумент функции ψ(x) — вещественный, а функции F (z) — комплексный.

–Чтобы задать волновую функцию ψ(x), надо определить ее¨ значения на множестве всюду плотном на R.

–Чтобы задать функции F (z), достаточно задать ее¨ значения на сходящейся последовательности различных точек. Это возможно поскольку F (z) определяется через аналитическую функцию f (z).

10При разложении функции A(ˆa, aˆ†) по степеням операторов aˆ и aˆ† ния должен быть антинормально упорядочен.

11Система когерентных состояний ψz является ортоподобной, т.е.

каждый член разложе-

5

|ψz ψz | dz dz =

C

= const ·

ˆ

ˆ

1

=1. Константа для нормированных когерентных состояний равна π. В силу

этого

|

π

5

|

|

dz dz , что совпадает с уравнением (12.44).

C

ψ2

ψ1

=

1

ψ2

ψz

ψz

ψ1

356

ГЛАВА 12

•Хотя функция |F (z)|2 очень похожа на распределение вероятностей по z, она таковым не является. Однако, она становится распределением вероятности по z в классическом пределе, т. е. для состояний и вопросов, для которых эффектом антинормального упорядочения можно пренебречь.

12.9. Сжатые состояния**

Рассмотренные выше, в разделе 12.7, когерентные состояния гармонического осциллятора не исчерпывают всех возможных когерентных состояний для пары операторов координата-импульс (см. раздел 7.2.3). Общее когерентное состояние для пары операторов координата-импульс должно удовлетворять уравнению

(ˆx + iγpˆ)|ψzγ = z|ψzγ ,

в котором параметры z C и γ > 0 могут быть выбраны произвольными. Однако когерентные состояния гармонического осциллятора ограниченны

	случаем фиксированного γ =	x0	=	1	(см. (12.5)). Такие состояния все
				mω
		p0

получаются сдвигом по координате и импульсу гауссова распределения (основного состояния) с фиксированной шириной.

Мы можем рассмотреть когерентные состояния с другими значениями γ, которым будут соответствовать гауссовы распределения более или менее широкие, чем для основного состояния осциллятора. Такие состояния называют сжатыми состояниями гармонического осциллятора12.

Сжатые состояния могут быть получены из когерентных изменением масштаба (растяжением или сжатием) по координате (масштаб по импульсу меняется автоматически так, чтобы продолжало выполняться соотношение

x0p0 = ¯h).

Удобно построить оператор сжатия, действие которого позволяло бы проводить соответствующее изменение масштаба. Сжатие по координате x соответствует сдвигу по ln |x|. Таким образом, генератор соответствующего

преобразования должен иметь вид:
ˆ	= −i¯h	∂	= −i¯hx	∂	= xˆpˆ.	(12.45)
G0		∂ ln |x|		∂x

12Название связано с тем, что распределение по координате или по импульсу для такого состояния может оказаться более узким (сжатым), чем для основного состояния осциллятора.

12.9. СЖАТЫЕ СОСТОЯНИЯ**

357

Данный оператор, однако, не является эрмитовым, а следовательно, экспонента от него

	i	ˆ		i	ˆ
e ¯h kG0 ,			e ¯h kG0 ψ(x) = ψ(ekx)

не будет унитарным оператором. Это связано с тем, что при сжатии в ek раз по x во столько же раз уменьшается квадрат нормы ψ 2. Для того чтобы

ˆ

сделать оператор унитарным, можно добавить к генератору G0 константу с таким расчетом,¨ чтобы новый оператор оказался эрмитовым:

Gˆ	= −i¯h x	∂	+	1	= xˆpˆ −	i¯h	=		1	[ˆx, pˆ]+ =
		∂x		2		2			2
							1				aˆ2 − (ˆa†)2
						=	2	(ˆxpˆ + pˆxˆ) = −i¯h			2	. (12.46)

Экспонента от эрмитового оператора автоматически оказывается унитарной:

	i		k	(aˆ2−(ˆa†)2)			k
ˆ		kGˆ				ˆ		k	(12.47)
	¯h		2		,		2
Dk = e		= e				Dkψ(x) = e		ψ(e x).

Как эволюционирует сжатое состояние, по сравнению с исходным? Пусть

|ψk(t)

ˆ

(Dk

		ˆ
	|ψk = Dk|ψ ,
ˆ	ˆ ˆ	ˆ ˆ ˆ −1 ˆ	ˆ
= Ut|ψk = UtDk|ψ		= UtDkUt Ut|ψ = (Dk)г(−t)|ψ(t) ,
)г(−t) = e k2 (aˆг2(−t)−(ˆaг†(−t))2) = e k2 (e2iωt aˆ2−e−2iωt (ˆa†)2) =
	ke2iωt
	= e 2	(aˆ2−e−4iωt(ˆa†)2).

Таким образом, каждые 14 периода колебаний осциллятора меняется знак k, т. е. сжатие по координате (и растяжение по импульсу) сменяется растяжением по координате (и сжатием по импульсу).

Средние значения координаты и импульса, как и для любых волновых функций гармонического осциллятора, колеблются как в классике (12.39).

В моменты времени, не кратные четверти периода, сжатое состояние уже не когерентное для пары наблюдаемых координата-импульс, но оказывается когерентным для пары

ˆ

Qг

ˆ

Pг

ˆ	ˆ
(−t) = cos(ωt) Q − sin(ωt) P ,
ˆ	ˆ

(−t) = sin(ωt) Q + cos(ωt) P .

12 в формулах для энергии

358 ГЛАВА 12

12.10. Классический предел*

Как получить из квантового осциллятора классический? Мы уже установили, что средние значения координаты и импульса для произвольного квантового состояния гармонического осциллятора эволюционируют точно так же, как и в классике (12.39). Однако какие из квантовых состояний

наиболее похожи на классические? Для стационарных состояний с любой энергией Q(t) = P (t) = 0, Q2(t) = P 2(t) = n + 12 , E = En =

=¯hω(n + 12 ).

Вклассическом пределе постоянную планка ¯h можно считать малой

(n велико) и мы можем пренебречь добавкой и средних квадратов.

Основному состоянию (n = 0) можно сопоставить состояние равновесия классического осциллятора, а возбужденным¨ состояниям — классические состояния с неизвестной фазой колебаний: мы знаем, что осциллятор

колеблется с определенной¨ амплитудой Q2(t) =				P 2(t) , но не зна-
Из-за этого незнания координата
ем с какой фазой происходят колебания.

и импульс усредняются по периоду и их средние значения обнуляются. Определение фазы колебания — это определение времени: ϕ = ωt. Со-

отношение неопределенностей¨ энергия-время (2.2) может быть переписано

как соотношение фаза-уровень:
δt · δE =	δϕ	· δE	¯h		δϕ · δn	1	(12.48)
			2			2 .
	ω

Таким образом, чтобы хотя бы приближенно¨ определить фазу колебаний, нам необходимо пожертвовать точным определением энергии.

Наиболее классическими состояниями осциллятора принято считать когерентные состояния, поскольку для них неопределенности¨ координаты и импульса минимальны и не зависят от времени δQ2(t) = δP 2(t) = 12 . При этом чем больше средняя энергия когерентного состояния, тем более классическим оно является.

12.11. Квантованные поля (ф*)

Классическая теория поля может рассматриваться как теоретическая механика систем, с бесконечным числом степеней свободы. При этом значение поля в каждой точке пространства (или каждая Фурье-компонента поля) может рассматриваться как обобщенная¨ координата.

12.11. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ (Ф*)

359

Квантовая теория поля соотносится с классической теорией поля точно так же, как квантовая механика соотносится с теоретической механикой систем, с конечным числом степеней свободы.

Квантовая теория поля — теория с переменным числом частиц, поскольку частицы в ней выступают в роли возбуждений поля. Мы обязаны рассматривать частицы в качестве возбуждений соответствующих полей

втех случаях, когда характерные энергии становятся сравнимы с энергиями покоя частиц, а это, в частности, означает, что корректная релятивистская квантовая механика может быть построена только в рамках квантовой теории поля.

Если мы рассматриваем поле свободных (т. е. ни с кем не взаимодействующих) частиц, то обычно поле заключается в ящик Lx × Ly × Lz с периодическими граничными условиями и разлагается в ряд Фурье. Каждому разрешенному¨ (при данных размерах ящика) волновому вектору ставится

всоответствие количество степеней свободы K, равное числу поляризаций у частиц рассматриваемого сорта. После этого пишется гамильтониан квантованного поля, состоящий из суммы членов, описывающих все эти степени свободы:

		2π	2π	2π	Nz ,
Hˆ =	k,σ	Hˆkσ , k = Lx	Nx, Ly	Ny , Lz

Nx, Ny , Nz Z, σ = 1, . . . , K.

Взаимодействие частиц описывается с помощью добавления в гамильтониан членов, содержащих переменные, относящиеся к разным состояниям частиц.

ˆ

Вид гамильтониана Hk,σ зависит от того, является ли рассматриваемое поле бозонным или фермионным. Для бозонных полей (например, для электромагнитного поля) надо взять гамильтониан гармонического осциллятора

ˆ	1	ˆ2	ˆ2	†	1
Hk,σ = ¯hωk,σ 2		( Pk,σ	+ Qk,σ ) = ¯hωk,σ (ˆak,σ aˆk,σ +		2 ).

Операторы aˆ†k,σ и aˆk,σ оказываются операторами рождения и уничтожения частицы (кванта поля, для электромагнитного поля — фотона) в состоянии с волновым вектором k (т. е. с импульсом pk = ¯hk), энергией εk,σ = ¯hωk,σ

ˆ†

иполяризацией σ. Оператор Nk,σ = aˆk,σ aˆk,σ оказывается оператором числа

ˆ

частиц с волновым вектором k и поляризацией σ. Через операторы Nk,σ

360

ГЛАВА 12

легко записываются такие величины, как общее число частиц

ˆ
	ˆ
N =	Nkσ ,
	k,σ

общая энергия

ˆ

H =

общий импульс

ˆ	1	ˆ	1
εkσ (Nkσ +	2 ) =	¯hωkσ (Nkσ +	2 ),
k,σ		k,σ

ˆ

pˆ = pkσ Nkσ .

k,σ

Общая энергия оказывается ненулевой даже в отсутствие частиц (такое состояние называют вакуумом)

	1
E0 =		¯hωkσ ,
	2

k,σ

эту энергию называют энергией нулевых колебаний вакуума (или просто —

энергия вакуума). Более того, энергия вакуума, как правило, оказывается бесконечной (одна из знаменитых расходимостей квантовой теории поля). Однако обычно эту энергию просто отбрасывают, используя модифицированный гамильтониан

ˆ
	†
Hk,σ =	¯hωk,σ aˆk,σ aˆk,σ .
	k,σ

В большинстве случаев нас интересуют не абсолютные значения энергий, а изменение энергии, поэтому мы можем вычесть из энергии произвольную (хотя и бесконечную) константу. Однако энергия нулевых колебаний вакуума проявляется на эксперименте в виде эффекта Казимира, за счет¨ которого две параллельные проводящие пластинки притягиваются. Это притяжение вызвано зависимостью E0 для нулевых колебаний электромагнитного поля от размера ящика (т. е. от расстояния между пластинами).

Также энергия вакуума должна быть существенна для гравитационных эффектов, в общей теории относительности она может давать вклад в космологическую постоянную.

ˆ

Для фермионных полей гамильтонианы Hk,σ действуют на двумерных пространствах состояний и имеют два уровня с энергией ε0 (нет частицы)

12.11. КВАНТОВАННЫЕ ПОЛЯ (Ф*)

361

и с энергией ε0 + ¯hωk,σ (есть частица). Тем самым автоматически запрещается существование двух фермионов в одном состоянии.

Для фермионов также вводятся операторы рождения и уничтожения, но для этих операторов коммутационные соотношения заменяются на антикоммутационные, которые нами пока не обсуждаются.

Рассмотрение кристаллической решетки¨ очень похоже на рассмотрение поля, с той разницей, что значения поля задаются не во всех точках, а только в узлах решетки,¨ а допустимые значения волнового вектора оказываются обрезаны сверху значениями порядка 2aπ , где a — период решетки¨. За счет¨ этого число степеней свободы оказывается конечным, хотя и большим. Конечной оказывается и энергия нулевых колебаний. Элементарные возбуждения в этом случае считаются не частицами, а квазичастицами. Например, возбуждения (кванты) упругих (звуковых) колебаний решетки¨ называются фононами. Квазичастицы описываются с помощью того же математического аппарата, что и настоящие частицы. Для них также можно писать энергию, импульс, число частиц, операторы рождения, уничтожения, распределения Бозе (для свободных бозонов) и Ферми (для свободных фермионов) и пр.

12.11.1. Классический предел (фф*)

Для колебаний квантованных полей, как и для гармонического осциллятора, мы можем получить из соотношения неопределенностей¨ энергия– время соотношение фаза–номер уровня (12.48), которое теперь понимается как соотношение фаза волны–число частиц:

δϕ · δn 12 .

Как и для гармонического осциллятора, наиболее классическими состояниями бозонного поля принято считать когерентные состояния. Причем¨ чем больше средняя энергия (число частиц) когерентного состояния, тем более классическим оно является. Именно состояния, похожие на когерентные чаще всего возникают на экспериментах «сами собой», состояния же с определенным¨ числом частиц, как правило, приходится специально приготавливать. Например, если мы ослабим с помощью светофильтров импульс лазера так, что в нем¨ будет в среднем один фотон, то точное число фотонов в таком состоянии окажется неопределенным¨. В некоторых опытах когерентные состояния очень хорошо умеют притворяться классическими полями, в частности при рассмотрении расщепления слабого (в среднем

362

ГЛАВА 12

меньше 1 фотона) лазерного импульса на полупрозрачном зеркале при обнаружении фотона в одном плече вероятность обнаружения фотона во втором плече не уменьшается, а увеличивается.

Число фермионных возбуждений (частиц) в одном состоянии может быть только 0 или 1. Это препятствует точному определению фазы фермионных волн, а значит и созданию для них состояний, близких к классическим.