Текст

4. Основная система, полученная введением одной угловой связи,

показана на рис. 11. 20, г.

5. Зададим введенной дополнительной связи принудительное еди-

ничное смещения (угол поворота), покажем деформированную схему основной системы от этого смещения (рис. 11.20, д ) и построим в ос-

новной системе эпюру M10 (рис.11.20, е). При этом для ригеля схемы, не испытывающего влияния сжимающих сил, эпюру изгибающих моментов строим, используя приложение 1, а для сжатой вертикальной стойки – приложение 3.

6. Из условия равновесия реакция в дополнительной связи r11 = − iνtgν + 4i.

7. Подставив значение r11 в уравнение устойчивости, получим νtgν = 4.

По приложению 5 найдем ν = 1,26.

8. Величина критической силы согласно (11.3)

Fcr = 1,262EI/l2 = 1,59EI/l2,

а расчётная длина стержня согласно (11.6) l0 = (π/1,26)l = 2,49l.

Пример 11.8. Требуется определить критическую силу и расчётные длины сжатых стоек для симметричной рамы, показанной на рис. 11.21,

а, имеющей один абсолютно жёсткий ригель. Жесткость всех остальных стержней EI – const.

При одинаковых длине, жесткости и сжимающей силе сжатых стоек рамы критический параметр ν − const.

Решение. 1. Ригели рамы способны смещаться по горизонтали, т.е.

рама является свободной. Следовательно, наименьшей будет критиче-

ская сила при кососимметричной форме потери устойчивости (рис. 11.21, б).

481

2. Представим расчётную схему в виде её симметричной части

(рис.11.21, в), которая имеет один жёсткий узел, способный к повороту.

Поперечные силы в сжимаемых стойках равны нулю, поэтому для полу-

ченной схемы можно использовать основную систему без постановки линейных связей. Следовательно, nк = 1.

3.	Уравнение устойчивости на основании (11.8) при nк = 1 будет
иметь вид r11 = 0.
4.	Основная система, полученная введением одной угловой связи,
показана на рис. 11. 21, г.
5.	Зададим введенной дополнительной связи принудительное еди-

ничное смещение (угол поворота), покажем деформированную схему основной системы от этого смещения (рис. 11.21, д ) и построим в ос-

новной системе эпюру M10 (рис.11.21, е). При этом для ригеля схемы, не испытывающего влияния сжимающих сил, эпюру изгибающих моментов строим, используя приложение 1, а для сжатой вертикальной стойки – приложение 3.

6. Из условия равновесия реакция в дополнительной связи r11 = 2iν/tgν + 6i.

7. Подставляя значение r11 в уравнение устойчивости, получаем ν/tgν = − 3.

По приложению 5 находим ν = 2,45.

8. Величина критической силы согласно (11.3)

Fcr = 2,452EI/l2 = 6,00EI/l2,

а расчётная длина стержня согласно (11.6) l0 = (π/2,45)l = 1,28l.

11 .4. Понятие о деформационном расчете рам

В реальных условиях стойки рам строительных конструкций всегда сжато-изогнуты, так как нагрузка, действующая на рамы может быть любой, а не узловой. Поэтому при строгой постановке исследование их

482

устойчивости следовало бы проводить в деформированном состоянии.

Однако для проверки устойчивости любой рамы это не всегда необхо-

димо, если ее расчет от действующей нагрузки производить по дефор-

мированному состоянию. Такой расчет принято называть деформацион-

ным расчетом.

В основу деформационного расчета рам положено решение диффе-

ренциального уравнения изогнутой оси сжато-изогнутого стержня (рис. 11.22):

EIy¢¢(x) = -M (x) = -[M x0 + N × y(x)],

(11.13)

где M x0 – изгибающий момент о поперечной нагрузки на стержень;

N × y(x) – момент от продольной силы.

При использовании метода перемещений, как наиболее удобного при расчете на устойчивость, система канонических уравнений имеет такой же вид, как и при расчетах на прочность:

r11Z1 + r12Z2 + …+ r1iZi +…+ r1nZn + R1F= 0;
r21Z1 + r22Z2 + …+ r2iZi +…+ r1nZn + R2F= 0;	(11.14)
……………………………………………….

rn1Z1 + rn2Z2 + …+ rniZi +…+ rnnZn + RnF= 0

Однако здесь все коэффициенты при неизвестных и свободные члены определяются с учетом действия продольных сил. Для определения ко-

эффициентов при неизвестных используются те же таблицы, что и при расчете на устойчивость (см. приложение 3). Для учета поперечной на-

грузки на сжато-изогнутые стержни на основании уравнения (11.13) мо-

гут быть получены аналогичные таблицы реакций, но получение их дос-

таточно просто только для простейших загружений (приложение 4).

Если в ходе деформационного расчета проследить изменение какого-

либо перемещения, например горизонтального горизонтального смеще-

ния ригеля (рис. 11. 23, а), в зависимости от сжимающей нагрузки F и

483

в предположении упругой работы материала, то получим график, приве-

денный на рис. 11. 23, б сплошной линией, имеющий нелинейную зави-

симость – F. При достижении нагрузкой некоторого предельного зна-

чения Fcr происходит исчерпание несущей способности, но при этом нельзя говорить о потере устойчивости по Эйлеру, так как изгибная форма одной из сжатых стоек существовала с самого начала загружения.

Кроме этого при росте деформаций и изгибающих моментов в элементах рамы могут возникнуть пластические щарниры (см. подразд. 9.4). По-

этому предел несущей способности Fu рамы будет достигнут раньше,

чем в предположении упругой работы (см. пунктирную линию на рис. 11.23, б).

При проведении деформационного расчета на действие расчетной на-

грузки если удовлетворить условиям прочности, то будет обеспечена и устойчивость в плоскости изгиба.

Основная трудность деформационного расчета состоит в том, что не-

известны продольные сжимающие силы в стержнях рамы. Поэтому в первом приближении величины этих сил принимают из статического расчета, а во втором – из результатов расчета по деформированной схе-

ме при уже известных значениях и т.д. до тех пор, пока продольные си-

лы двух приближений не будут отличаться друг от друга.

Пример 11.6. Требуется, используя расчет по деформированной схеме, построить эпюры усилий в раме, показанной на рис. 11.24, а. EI

=1200 кН·м2.

Данная рама (без вертикальных сжимающих сил F=80 кН) рассмот-

рена в примере 6.1. Так как упомянутые вертикальные силы не влияют на результаты расчета при изгибе, то эпюры MF и QF будут такими же,

как и в примере 6.1 (см. рис. 6.8, б). Изменения коснутся лишь значений продольных сил на стойках рамы (рис. 11.24, б).

484

Относительные жёсткости стержней рамы, приведённые к единому множителю, следующие:

∙правой стойки – i1 = EI/4 = i;

∙левой стойки – i2 = 1,5EI/4 = 1,5i;

∙ригеля – i3 = 2EI/4 = 2i.

Решение. 1. Для решения задачи используем ту же основную систему,

что и в примере 6.1 (см. рис. 6.6, б).

2. Следовательно, система канонических уравнений на основании

(6.5) при nк = 2 будет иметь вид

r11Z1 + r12Z2 + R1F = 0;

r21Z1 + r22Z2 + R2F = 0.

3. Вычислим параметры, учитывающие влияние продольных сжи-

мающих сил [см. выражение (11.2)]:

для левой стойки при N = 121,625 кН

v1 = 4

121, 625

= 1, 04;

1, 5 ×1200

для ригеля рамы при N = 15,75 кН

v2 = 8

15, 75

= 0, 648;

2 ×1200

для правой стойки при N = 110,375 кН

v3 = 4

110, 375

= 1, 213.

1200

4. Последовательно зададим введенным дополнительным связям принудительные единичные смещения, покажем деформированные схе-

мы основной системы от этих смещений (см. рис. 6.6, в и г) и, используя приложение 3, построим в основной системе эпюры M10 и Q10 , M 20 и Q20

(рис. 11.25, а и б).

Значения изгибающих моментов и поперечных сил с использованием приложения 5 будут следующими:

Состояние 1.

485

M110		= 2 ×1, 5i ×φ3 (1, 04) = 3i ×1, 0186 = 3, 0559i;
M 210		= 4 ×1, 5i ×φ2 (1, 04) = 6i ×0, 9634 = 5, 7805i;
M 0		= 3i ×φ (0, 648) = 3i ×0, 9717 = 2, 915i;
31					1
Q0	= Q0				=	6 ×1, 5i	φ		(1, 04) = 2, 25i ×0, 9818 = 2, 2091i;
								4
11		21			4
Q0	=		3i	φ (0, 648) = 0, 375i ×0, 9717 = 0, 3644i.
31		8			1

Состояние 2.

M120

= M 220 =

6 ×1, 5i

φ4 (1, 04) = 2, 25i ×0, 9818 = 2, 2091i;

4

M 0

=

3i

φ (1, 213) = 0, 75i ×0,8975 = 0, 6731i;

62

8

1

Q0

= Q0

=

12 ×1, 5i

η

(1, 04) = 1,125i ×0,8917 = 1, 0032i;

2

12

22

42

Q0

= Q0

=

3i

η (1, 213) = 0,1875i ×0, 4070 = 0, 0763i.

52

62

42

1

5. Приложив к стержням основной системы заданную нагрузку, с ис-

пользованием приложения 4 построим эпюры M F0 и QF0 (рис. 11.25, в).

Значения изгибающих моментов и поперечных сил в грузовом со-

стоянии с использованием приложений 5 и 6 будут следующими:

M 30F

=

9 ×82

=

72

= 73, 0278;

8φ2 (0, 648)

0, 9855

1

-1

48 × 4

cos(0, 5 ×1, 213)

M 60F

=

×

= 38,1325;

2

1 -

1, 213

tg1, 213

Q0

=

9 ×8

(1 +

1

) = 45,1285;

3F

2

4φ2 (0, 648)

Q0

=

9 ×8

(1 -

1

) = 26,8715;

4 F

2

4φ2 (0, 648)

Q0

=

3× 48

×η (1, 213)[

sin(0, 5 ×1, 213)

- 0, 5 ×1, 213] = 14, 4669;

5 F

1, 2133

1

cos1, 213

Q0

= 48 - Q0

= 33,5331.

6 F

5 F

6.Реакции в дополнительных связях определим аналогично примеру

6.1(см. рис. 6.7, а и б) из условий равновесия, откуда

486

r11 = 8,6955i (кН·м/рад), r12 = r21 = – 2,2091 i (кН), R1F = –73,0278 (кН·м),

r22 = 1,0795i (кН/м), R2F = 14,4669 (кН).

7. Система канонических уравнений в численном виде будет иметь

вид:

8, 6955iZ1 − 2, 2091iZ2 − 73, 0278 = 0,

− 2, 2091Z1 + 1, 0795Z2 +14, 4669 = 0,

а ее решение		Z1 = 10,401/i (рад), Z2 = 7,884/i (м).
8. Построим эпюры изгибающих моментов M F = M10 Z1 + M 20 Z2 + M F0 и
поперечных сил	Q	= Q0 Z + Q0 Z	2	+ Q0 в заданной схеме на основании
	F	1 1 2		F

принципа независимости действия сил. Определив из равновесия узлов продольные силы в стержнях, построим эпюру NF. Эпюры MF, QF и NF

показаны на рис. 11.26.

Продольные силы в стойках отличаются на 0,23-0,26%, поэтому по-

вторного расчета не требуется. Сопоставление полученной при расчете эпюры изгибающих моментов с аналогичной эпюрой, полученной при расчете по недеформированной расчетной схеме (см. рис. 6.7) показыва-

ет, что различие изгибающих моментов незначительно (от 0,5% до 5%).

Наибольшее расхождение имеют моменты в нижнем сечении левой стойки (20,17%), эти значения не являются максимальными для стойки.

В целом рама далека от потери устойчивости, так как критические силы для данной рамы, полученные из решения уравнения устойчивости ме-

тодом перемещений равны Fcr = 1166,44 кН.

11 .5. Энергетический способ определения критических сил

В основе способа лежат энергетические признаки равновесия, соглас-

но которым потенциальная энергия системы в состоянии устойчивого равновесия имеет минимальное значение, в состоянии неустойчивого равновесия – максимальное, а в случае безразличного состояния – оста-

487

ется постоянной (принцип Дирихле), что и служит критерием устойчи-

вости. Наглядно принцип Дирихле легко представить с помощью шари-

ка (рис. 11.27), находящегося на различных поверхностях: а – устойчи-

вое положение шарика; б – неустойчивое; в – безразличное,

Полная потенциальная энергия упругой системы численно равна ра-

боте внешних и внутренних сил, совершаемой при переходе из одного положения равновесия в другое. Поэтому приращение потенциальной энергии

ΔЭ = U – T,

где U, T – элементарная работа соответственно внутренних и внеш-

них сил при отклонении системы от исходного состояния равновесия. В

состоянии устойчивого равновесия при ΔЭ =0 получаем

U = T.

(11.15)

Для стержневых систем из элементов постоянного сечения. Пренеб-

регая работой продольных и поперечных сил, на основании (4.14) полу-

чаем

m		M	2
U = 0, 5∑ l				dx,	(11.16)
1	∫0	EI
′′
или, учитывая, что M = EIy (x)
m
U = 0, 5∑ ∫0l		EI[ y′′(x)]2dx,			(11.17)
1

где m – число участков интегрирования расчетной схемы.

Работа внешних сил

n
T = ∑ Fiδi ,	(11.18)
i=1
где n – количество внешних сил расчетной схемы, δi –	перемещения то-
чек приложения внешних сил по их направлениям.

Для определения одного из таких перемещений рассмотрим шарнир-

но опертый стержень, загруженный силой F. При достижении этой си-

лой значения Fcr стержень деформируется, и точка приложения силы пе-

488

реместится на величину δ (рис. 11.28, а). Выделим бесконечно малый элемент dx стержня и определим вертикальное смещение Δδ его верхне-

го конца (рис. 11.28, б):

Δδ = dx – d x·cos dφ = (1 – cos d φ) dx = 2 sin2(0,5 dφ) dx.

Вследствие малости угла dφ можно принять

sin2(0,5 dφ) = (0,5 dφ)2 = 0,25 tg2 dφ = 0,25 [ y′(x)]2 .

Тогда Δδ = 2·0,25·[ y′(x)]2 = 0,5·[ y′(x)]2 , а полная величина

l
δ = 0, 5∫[ y′(x)]2 dx.	(11.19)
0

Для рассматриваемого стержня выражения работ внешних и внут-

l

ренних сил будут T = Fcr δ = 0, 5Fcr ∫[ y′(x)]2 dx,

	0
равнивая их согласно (11.15) получим
		l
		′′	2
	=	∫ EI[ y (x)] dx
F		0		.
		l
cr

∫[ y′(x)]2 dx

0

U = 0, 5∫0l EI[ y′′(x)]2 . При-

(11.20)

Формула (11.20) справедлива при любых закрепления концов стерж-

ня. Для стержневой системы, в которой заужены несколько стержней системы данная формула принимает вид:

	m	l
		′′	2
Fcr =	∑ ∫ EI[ y (x)] dx
	1	0		.	(11.21)
	n	l
	∑ ∫[ y′(x)]2 dx
	1	0

При использовании формулы (11.21) предварительно внешние силы необходимо выразить через одну из них.

Чтобы определить критическую нагрузку по формулам (11.20) и (11.21), необходимо знать уравнения осей деформированных при потере устойчивости стержней (форму потери устойчивости). Поскольку ис-

тинная форма потери устойчивости, как правило, неизвестна, то ее при-

489

нимают приближенно, что и обуславливает приближенный характер энергетического способа. Форма потери устойчивости может быть зада-

на: в виде уравнения изогнутой оси, записанной в виде алгебраических или тригонометрических полиномов или рядов, отвечающих граничным условиям задачи; в виде уравнения изогнутой оси, полученного от ста-

тического действия каких-либо внешних нагрузок.

Пример 11.6. Определить критическую силу для шарнирно опертого стержня (см. рис. 11.28, а). Форму потери устойчивости принять в виде y(x) = f0 sin (πx/l), где f0 – прогиб стержня в середине пролета.

Решение. 1. Определим производные от заданного уравнения изогну-

			πx			2		πx
той оси: y¢(x) = f0	π	cos		;	y¢¢(x) = - f0	π	sin		.
	l					2
			l			l		l

2. Вычислим интегралы, входящие в (11.20):

	l
· числитель	∫ EI[ y¢¢(x)]2
	0
	l
· знаменатель	∫[ y¢(x)]2 dx
	0

π4

l

πx

π4

dx = EIf

02

∫sin2

dx = EIf02

×0,5l;

l 4

l

l 4

0

π2

l

πx

π2

=

f02

∫ cos2

dx =

f02

×(0,5l).

l2

l

l 2

0

3. Вычислим значение критической силы по(11.20):

F	= EIf 2	π4	×	2l		=	π2 EI	.
				f 2	π2
cr	0 2l3						l 2
				0

Это точное решение, так как принятая форма потери устойчивости является точной и получена Эйлером.

Пример 11.7. Определить критическую силу для шарнирно опертого двухветвевого стержня абсолютной жесткости (рис. 11.29, а) с пружин-

ной опорой жесткости r. Возможная форма потери устойчивости показа-

на на рис. 11.29, б.

Решение. 1. Определим вертикальное перемещение точки приложе-

ния силы:

490