Конспект лекций по общей физики (1-4 семестр)

100

v						F v
			v
		2			2
				0
	v				3kT
		кв			m
						0

	dv		3kT
			m
				0
		3RT			.
		μ

,

Видно,

что vвер

v

vкв

F(v)

0

(РИС. 12.3).

vвер

vкв

v

Рис. 12.3

2.7.3. Распределение молекул идеального газа по энергиям

Кинетическая энергия молекулы

	m v	2	2ε		2	dε		dε
ε		v		, dv
	0
	2		m		m	2 ε		2m	ε
			0		0
								0

Выразим функцию распределения Максвелла F(v) через ε:

.

			3					m	2ε
	m		2		2ε
								2kT m
F v								0
	0			4π		e
									0
	2πkT				m
					0

			3			ε
		m	2	8π
		0			εe	2kT
		2πkT		m
				0

.

Число молекул с энергиями от ε до ε + dε, соответствующими скоростям от v до v + dv

ε

3 2

3

ε

dN

NF v dv

Nm0

2 π

ε

e kT dε

2N

εe

dε .

kT

ε

23 2 π3 2 kT 3 2 m

21 2m1 2

ε

π

kT 3 2

0

0

Но dNε = NF(ε)dε, поэтому

F ε

2

ε

εe

kT

.

π kT 3 2

График этой функции показан на РИС. 12.4.

101

Дополнительное задание

Доказать, что наиболее вероятное значение кинетической энергии молекулы

	εвер	kT	, среднее значение энергии	ε		3kT	.
		2				2
			F(ε)

0 εвер

Рис. 12.4

v

2.7.4. Барометрическая формула

Рассмотрим столб идеального газа (молярная масса равна µ) в однородном грави-

тационном поле (ускорение свободного падения

g

) при постоянной температуре

T (изотермическая атмосфера). Найдём зависимость давления и концентрации газа от высоты.

T

dh

Выделим тонкий слой толщиной dh на высоте h

(РИС. 12.5). Давление этого слоя

p

dp ρgdh ,

ρ – плотность газа, знак «–» означает, что давление

h

уменьшается с ростом высоты.

Из уравнения Менделеева -Клапейрона

ρ

pμ

dp

pμg

dh .

RT

RT

p0

0

Разделим переменные:

Рис. 12.5

dp μg dh

p

dp

μg

h

ln p μgh ,

dh

p

RT

p

RT

p0

RT

p0

0

p0 – давление столба газа на нулевом уровне,

μgh

p p0e RT

–барометрическая формула. Можно записать эту формулу в виде

μgh

ρρ0e RT ,

где ρ0 – плотность газа на нулевом уровне, и, учитывая, что p = nkT,

102

	n n e		μgh
			RT
	0

n0 – концентрация газа на нулевом уровне.

,

Эти формулы можно также представить через массу молекулы m0:

		m gh				m gh			m gh
p p0e		0		ρ ρ0e		0	, n n0e		0
		kT	,			kT			kT

или через потенциальную энергию молекулы εп = m0gh (см. РАЗДЕЛ 1.8.4):

		ε
p p e		п
		kT
0

,

		ε
ρ ρ e		п
		kT
0

,

		ε
n n e		п
		kT
0

.

Графики зависимости концентрации газа от высоты при двух разных температурах и одинаковом давлении на нулевом уровне показаны на РИС. 12.6.

n

n01

n02 T1

T2

O

h

Рис. 12.6

Демонстрация: Распределение молекул в поле тяжести

2.7.5. Распределение Максвелла-Больцмана

Распределение Больцмана:

εп

n n0e kT ,

здесь εп – потенциальная энергия молекулы, n0 – концентрация газа на нулевом уровне потенциальной энергии. Эту формулу мы вывели в ПРЕДЫДУЩЕМ РАЗДЕЛЕ для однородного гравитационного поля, но можно показать, что распределение Больцмана справедливо для любого потенциального поля.

Между распределениями Максвелла в форме (12.4) и Больцмана есть большое

m v2

ε

сходство, так как

0

к

, εк – кинетическая энергия молекулы.

2

kT

Распределение Максвелла:

3

m

2

εк

dNε

N

0

e

kT dvxdvydvz .

к

2πkT

Распределение Больцмана:

dNεп

Закон Максвелла-Больцмана:

103

εп

n0e kT dxdydz

.

			3			ε
		m	2		ε
							п
dN					к
		0		n e	kT		dv	dv	dv	dxdydz
				0			x	y	z
		2πkT

– число частиц в элементе объёма фазового пространства (dx, dy, dz, dvx, dvy, dvz).

104

Лекция 13

	2.8. Реальные газы. Фазовые переходы
	2.8.1. Модель реального газа Ван-дер-Ваальса. Уравнение Ван-дер-Ваальса
	Модель реального газа (в отличие от идеально- Wп				Модель
	го газа):				реального газа
	1. Молекулы имеют конечный объём.
	2. Молекулы притягиваются на не	слишком			Модель
	больших расстояниях друг от друга (r < r1).
					идеального газа
	Здесь r1 – радиус молекулярного действия,
	сфера радиуса r1 – сфера молекулярного
	действия.		0	r0	r1
	Аппроксимация экспериментальной зависимо-					r
	сти потенциальной энергии взаимодействия мо-			Экспериментальная
	лекул моделью реального газа показано на
	РИС. 13.1.				зависимость
	Получим уравнение состояния реального газа,				Рис. 13.1
	основываясь на этих двух положениях, исходя из
	уравнения состояния идеального газа – уравнения Менделеева-Клапейрона
	pV	RT
	μ

(для 1 моля), здесь Vµ – молярный объём – объём, занимаемый 1 молем газа.

1.При переходе к модели реального газа

Vμ Vμ b,

где b – объём, занимаемый молекулами 1 моля газа;

b м3 .

моль

2.Внесём поправку на силы притяжения на межмолекулярных расстояниях порядка радиуса молекуляр-

ного действия. В слое толщиной r1 межмолекулярное притяжение оттягивает молекулы от стенки сосуда (РИС. 13.2). Слой, прилегающий к стенке сосуда, оття-

	гивается от неё с силой			F		. Модуль этой силы про-
	порционален произведению числа молекул в этом							r1	r1
	слое и числа молекул в слое, который его притягива-
	ет, т. е. квадрату общего числа N молекул:
	F ~ N	2		2			1		Рис. 13.2
						~
			~n				2
							V
							μ

(n – концентрация газа), а поправка к давлению пропорциональна модулю этой силы:

p p Va2 ,

μ

a Па м6 . моль2

105

Уравнение Ван-дер-Ваальса

p	a				V	b		RT	,
	V	2			μ
	μ

a и b – постоянные Ван-дер-Ваальса – характеристики газа.

Уравнение Ван-дер-Ваальса для ν молей идеального газа

		p	aν		2	V		b		RT
			V	2			ν				.

Внутренняя энергия реального газа

(13.1)

Поправка

aν V

	U	i	νRT	aν	.
		2		V

обусловлена потенциальной энергией притяжения молекул.

2.8.2. Изотермы реального газа

Фаза в термодинамике – совокупность однородных, одинаковых по всем своим свойствам частей термодинамической системы.

Представим уравнение Ван-дер-Ваальса (13.1) в виде явной зависимости p(Vµ):

p		RT			a
	V		b		V	2
	μ				μ

.

Графики этой зависимости при разных температурах представлены на РИС. 13.3.

p

			Tкр
pкр
			4
	1	3
			5
		2
0		Vкр	Vµ

Рис. 13.3

Видно, что при низких температурах кривая p(Vµ) имеет по два экстремума, а при более высоких – зависимость p(Vµ) монотонна. Пограничная изотерма – критическая – имеет один горизонтальный перегиб (кривая красного цвета на РИС. 13.3). Состояние газа с параметрами, соответствующими этой точке, называется критическим. Параметры критического состояния можно найти из условий

		106
	dp					0,
		dV
				μ
			2
	d			p		0.
	dV				2
				μ

Проведя преобразования, получим

Vкр

3b

,

Tкр

		8a
		27Rb

,

	p		a
			2
	кр
			27b

.

В реальности зависимости давления от объёма с двумя экстремумами не наблюдаются. Вещество, в котором давление растёт с ростом объёма при постоянной температуре, не может быть стабильным. В таких областях вещество становится неоднородным и расслаивается на две фазы.

Состояния, в которых с ростом давления растёт объём, нестабильны и не реализуются (участок 2-3-4 одной из кривых на РИС. 13.3). Их заменяет прямой участок.

Перечислим, в каком состоянии находится вещество на разных участках изотермы Ван-дер-Ваальса:

1-5 – насыщенный пар – газ, находящийся в термодинамическом равновесии со своей жидкостью;

1-2 – перегретая жидкость;

4-5 – пересыщенный пар34.

Критическая температура – это температура, при которой стирается различие между жидкостью и газом35. При температуре больше критической принципиально невозможно перевести газ в жидкое состояние.

Критическая температура воды: Tкр = 374°С.

На РИС. 13.4 показано, в какой фазе находится вещество на разных участках диаграммы (p, V). Обозначения: Г – газ, Ж – жидкость, П – пар, К – критическая точка.

p

К

	Г
Ж

Ж + П	П
0	V
	Рис. 13.4

34Перегретую жидкость и пересыщенный пар можно получить, если нагревать жидкость (или, соответственно, охлаждать пар) очень осторожно, так чтобы в жидкости (паре) не образовывались зародыши газообразной (жидкой) фазы, т. е. в среде должны отсутствовать неоднородности, а также следует избегать механических возмущений.

35Термин «пар» используется для обозначения газообразного состояния при температурах ниже

критической, а «газ» – при температурах, соответственно, выше критической.

107

Демонстрация: Критическое состояние эфира

2.8.3. Диаграммы состояния вещества

Разные фазы одного и того же вещества могут находиться в термодинамическом равновесии друг с другом. При этом каждому значению давления соответствует своё значение температуры. Совокупность равновесных состояний двух и более фаз изображается на диаграммах (p, T) (РИС. 13.5).

p

К

ТТ

	Тр	Г
0		T

Рис. 13.5. Фазовая диаграмма вещества

Обозначения на РИС. 13.5: Г – газ, Ж – жидкость, ТТ – твёрдая фаза, К – критическая точка, Тр – тройная точка.

Тройная точка – единственная точка на фазовой диаграмме, в которой 3 фазы вещества находятся в термодинамическом равновесии.

Для воды pтр = 6,4·102 Па (5 мм рт. ст.); Tтр = 273,15 К (точно36).

2.8.4. Фазовые переходы

Фазовой переход – переход вещества из одной фазы к другой.

Фазовые переходы

I рода

скачкообразно изменяются ρ, n Q

ПРИМЕРЫ:

сублимация, кипение, переход из одной кристаллической модификации в другую, переход вещества из сверхпроводящего состояния в нормальное

II рода

скачкообразно изменяется C

ПРИМЕРЫ:

переход вещества из ферромагнитного состояния в парамагнитное, из нормального состояния в сверхпроводящее

36 Единственность тройной точки делает её удобной для установления эталона температуры.

108

Теплота фазового перехода Q (характеризует переходы I рода) – количество теплоты, выделяемое (поглощаемое) веществом при фазовом переходе.

Удельная теплота фазового перехода – теплота фазового перехода, приходя-

щаяся на вещество единичной массы:

	λ	Q	, λ	Дж	.
		m		К
2.9. Неравновесные процессы

2.9.1. Длина свободного пробега молекулы идеального газа
Молекулы идеального газа – это упругие шарики. Двигаясь хаотиче-
ски, они сталкиваются между собой.			d
Размер этих шариков – эффективный диаметр			молекулы
(РИС. 13.6); d = d(T) – слабая функция температуры. Эффективное се-
чение молекулы			Рис. 13.6
σ	πd	2
		.
	4

Средняя длина свободного пробега молекулы идеального газа – среднее расстояние, которое молекула проходит между двумя последовательными соударениями.

Найдём эту величину. Будем считать молекулы неподвижными, движется только «тень» одной молекулы. «Тень» столкнётся со всеми молекулами, центры которых лежат внутри цилиндра диаметром 2d (РИС. 13.7). Число этих молекул N равно числу столкновений «тени»

N	4πd	2	l n,
	4
здесь n – концентрация газа,			l – длина цилиндра.
Средняя длина свободного пробега
			λ	l		1	.
				N		2
						πd n

2d

l

Рис. 13.7

На самом деле молекулы не неподвижны. Теперь рассмотрим движение молекулы относительно других молекул. Относительная скорость молекулы

Усредним:

v	v		v
2		2	2
отн		1	2
v			v
2			2
отн

vотн v2					v1 ,
2v v v			2	v		2
1	2	1			2
2	2	v v cos
v
			1		2

	1	2
2v v			cos
	1	2
	v	,v

1		2
v	,v
		0
2	v	2

.

.

Среднеквадратичные скорости пропорциональны среднеарифметическим, поэтому

vотн2 2vкв ~ 2 v ;

109

λ

1

.

2

2πd n

Среднее время между двумя последовательными соударениями молекулы

τ

λ

1

.

v

2

2πd n v

Среднее число ударов молекулы в единичный промежуток времени

z

1

v

2

τ

λ

2πd n v .

Численная оценка

d = 2·10–10 м; n = 3·1025 м–3

λ

2

7

м

;

10

м

3

3

;

z

10

9

с

1

;

10

с .

при T = 300 К v 1 10

с

2

5 10

τ 2 10

2 10

2.9.2. Эмпирические уравнения явлений переноса

Явления переноса (кинетические явления) – явления, происходящие в процессе

установления термодинамического равновесия.

Три основных кинетических явления, их эмпирические уравнения с выводом и

соответствующие характеристики сред представлены в ТАБЛИЦЕ 13.1.

Таблица 13.1

Явления переноса

Диффузия

Теплопроводность

Вязкость

(внутреннее трение)

выравнивание концен-

выравнивание

скоростей

траций

(плотности)

выравнивание

темпера-

смеси нескольких ветур, обусловленное теп-

упорядоченного

движения

слоёв жидкости или газа, обу-

ществ,

обусловленное ловым

движением

моле-

словленное тепловым движе-

тепловым

движением кул

нием молекул

молекул

– перенос массы

– перенос энергии

– перенос импульса

z

S

S

S

ρ1

ρ2

T1

T2

z

z

x

(ρ2 > ρ1)

(T2 > T1)

(u2 > u1)