14. Дисперсия и ее основные свойства. Вычисление дисперсии по способу «моментов».

Дисперсия - средний квадрат отклонений от средней арифметической. Является основной мерой вариации.

х – средняя в целом по совокупности; f – частота в целом по совокупности.

Основные свойства дисперсии:

1)если все вариантные х уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия не изменится;

2)если все варианты х разделить или умножить на постоянное число b ≠ 0, то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в b2 раз.

Если рассмотреть средний квадрат отклонения от некоторой постоянной с ≠х, то он будет > дисперсии на определенную величину (х - с)2.

Тогда можно записать: б2 = (∑(x-c)^2*f )/(∑f)- ( -c)^2. Это равенство выполняется при любых значениях C, в т.ч. и при С = 0. (∑x^2*f)/(∑f)=x^2 - средний квадрат.

Получаем важную в теоретическом и практическом значении формулу: б2 = 2 – (х )2

– исправленная (несмещенная) дисперсия.

Вычисление дисперсии: используя рассмотренное свойство можно упростить вычисление дисперсии. В начале все варианты уменьшить на постоянную А, затем уменьшить в b раз. Тогда дисперсия определяется:

i — величина интервала ( i = b );

А — условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой (A = Xк);

m1 - квадрат момента первого порядка;

m2 - момент второго порядка

Этот способ расчета дисперсии и среднего квадратического отклонения называется способом моментов, или способом от условного нуля. Он выгоден в тех случаях, если исходная совокупность представлена в виде вариационного ряда распределения с равными интервалами.

15. Групповая и межгрупповая вариации. Правило сложения дисперсий.

Если совокупность разбить на группы по какому-либо признаку (группировочному), то для результативного признака могут быть исчислены следующие виды дисперсий: общая, межгрупповая и внутригрупповая.

Общая дисперсия характеризует вариации результативного признака за счет всех условных факторов, действующих по данным совокупности.

- общее среднее для всех единиц совокупности; ∑f = n, где n – численность или объем совокупности.

Групповая дисперсия характеризует вариации результативного признака за счет условий и факторов, действующих внутри групп (локализованных в j – группе).

j – № группы; f – частоты в j – группе (∑f = n, где n – численность или объем группы);

- средняя в этой группе. =;=

На основании групповой дисперсии можно определить общую среднюю групповых:

Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора, положенного в основании группировки.

Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

Пользуясь правилом сложения дисперсий, можно по двум известным дисперсиям определить третью, а также судит о силе влияния группировочного признака.