Генеральная и выборочная совокупности

Рассмотрим типичную для применения методов математической статистики ситуацию. Пусть изучается большая совокупность однородных объектов относительно некоторого количественного признака и связанная с этой совокупностью случайная величина Х.

Пример. Изучается большая партия выточенных на определенном станке деталей (партия деталей в данном случае и есть упомянутая выше совокупность однородных объектов) на предмет проверки их качества (определенные параметры детали − вес, размеры, прочность … − должны укладываться в заданные диапазоны). Случайная величина Х − вес (или, например, длина или предельное напряжение разрыва) наугад выбранной детали. Изучение этой величины покажет вероятность выпуска бракованных деталей, среднюю величину расхождения параметров по отношению к стандарту, и т.п. .

Типичной ситуацией применения методов математической статистики может быть не только изучение случайной величины, связанной с совокупностью однородных объектов, но и случайной величины, связанной со случайным экспериментом над одним объектом.

Пример. Изучается фальшивый игральный кубик, который не является однородным по плотности (так что выпадение разных граней имеет разные шансы). Интересующая случайная величина Х − число выпавших на кубике очков.

В результате каждого опыта с.в. Х принимает определенное значение. Теоретически таких опытов можно проводить бесконечно много. В результате этого мы получим совокупность всевозможных значений случайной величины, которая называется генеральной совокупностью. В первом примере с деталями это будет бесконечный набор чисел, выражающих вес выбранных деталей. В примере с одним кубиком это тоже будет бесконечный набор чисел (каждое из них целое между 1 и 6), полученных при бесконечном числе подбрасываний неоднородного кубика.

Бесконечная генеральная совокупность − это, конечно, математическая абстракция. На практике имеют дело с конечными совокупностями. В примере с партией деталей на каждой их них с.в. Х (вес детали) принимает определенное значение. Каждая деталь имеет вес и при проведении данного исследования может быть отождествлена с числом, равным весу детали (т.е. с числом, которое на этой детали принимает с.в. Х). Тогда на практике под генеральной совокупностью понимают совокупность всех деталей из изучаемой партии (или совокупность всех чисел, выражающих веса этих деталей). Таким образом, если изучается случайная величина Х, связанная с большой совокупностью однородных объектов, то на практике под генеральной совокупностью понимают саму совокупность изучаемых объектов (или набор значений случайной величины на каждом из этих объектов). Например, нас интересует оценка населением работы правительства (по пятибалльной шкале). В данном случае изучается с.в. Х − оценка работы правительства, данная случайно выбранным жителем, а генеральной совокупностью являются все жители страны (или набор оценок, выставленных всеми жителями страны).

Зачастую проводить сплошное обследование, когда изучаются все объекты генеральной совокупности (каждый житель страны при опросе общественного мнения, каждая деталь большой партии и т.д. ), нецелесообразно или невозможно (не разрывать же каждую деталь при исследовании усилия на разрыв, или не вскрывать же все банки большой партии консервов для изучения количества содержащихся вредных веществ). В этих случаях проводят выборочное исследование: выбирают из генеральной совокупности часть объектов (как говорят, производят выборку) и рассматривают значения изучаемой с.в. на выбранных объектах (частичный опрос населения, выборка относительно небольшого числа деталей и т.п. ) .

Выборочной совокупностью (выборкой) называется совокупность объектов (или значений исследуемой случайной величины на этих объектах), отобранных для изучения из генеральной совокупности. Важнейшей характеристикой этих совокупностей (генеральной и выборочной) является количество объектов в них. Объемом совокупности (генеральной или выборочной) называется количество объектов в ней.

Пример. Из 100000 ламп накаливания отобрали для изучения100 штук. Тогда объем генеральной совокупности N=100000, а объем выборки n=100.

Как уже было сказано, основные задачи математической статистики состоят в правильном получении статистических данных ( т.е. правильно произвести выборку) и правильном их анализе для получения объективных характеристик изучаемой случайной величины. Рассмотрим первую из них, т.е способы отбора (способы получения выборки):

1. Бесповторная выборка − отобранный из генеральной совокупности объект (перед выбором следующего) не возвращается в генеральную совокупность. Например, при выборе 100 ламп из 100000, каждая отобранная лампа кладется в отдельный ящик, пока в нем не накопится 100 ламп, которые потом и объявляются выборкой.

2. Повторная выборка − случайно отобранный из генеральной совокупности объект (перед выбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Например, при выборе 100 ламп из 100000, можно, выбрав лампу, пометить ее (или записать ее номер) и возвратить ее в генеральную совокупность перед следующим выбором. После 100 таких отборов объявить выборкой совокупность помеченных лампочек. При таком отборе (в отличие от предыдущего) некоторый объект может попасть в выборку несколько раз.

Более удобна на практике бесповторная выборка, а более объективной является повторная выборка. Однако при достаточно большом объеме генеральной совокупности эти различия стираются.

Для того, чтобы по выборке можно было бы получать объективные оценки всей генеральной совокупности, она (выборка) должна правильно отражать пропорции всей генеральной совокупности. В этом случае говорят, что выборка должна быть представительной (или репрезентативной). Репрезентативность выборки обеспечивается достаточно большим ее объемом и случайностью отбора (каждый объект генеральной совокупности должен иметь равные шансы попасть в выборку). Примеры.