Тема 7. Основные непрерывные случайные величины и их числовые характеристики

Равномерное непрерывное распределение на промежутке, его плотность вероятностей и функция распределения. Числовые характеристики равномерного распределения. Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины на промежуток. Показательное распределение, его плотность и функция распределения. Числовые характеристики показательного распределения. Вероятность попадания показательно распределенной случайной величины в заданный промежуток. Нормальное распределение, его плотность вероятностей и функция распределения. Влияние параметров нормального распределения на вид нормальной кривой (кривой Гаусса). Нормированная кривая, нормированное нормальное распределение. Числовые характеристики нормального распределения. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный промежуток. Вычисление вероятности заданного отклонения нормально распределенной случайной величины. Правило трех сигм, его сущность и применение на практике.

Л и т е р а т у р а

[2], гл.3, § 1,2, гл.4, § 1,5; [3], гл.5, 5.8, гл.6; [5], гл.11, § 6, гл.12, § 2-7, § 13-15, гл.13, § 1-3; [6], гл.4, § 18, 19, гл.5, § 23, 24; [7], гл.12, § 29-32; [8], гл.4, § 3, 5; [9], гл.3, § 4, гл.4, § 1, 3, гл.5, § 1, 2; [11], гл.29, § 206, 207; [12], ч.2, гл.3, § 12; [13], гл.20, § 13, 15-20. [14], § 3, 3.7-3.10; [15], гл.6, § 1-3; [16], гл.2, 2.6-2.9.

О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы

Плотность равномерного на отрезке [a, b] непрерывного распределения (дифференциальная функция f(х)) выражается аналитически равенством

f(х) = (7.1)

Интегральная функция F(х) этого распределения имеет вид

F(х) = (7.2)

Числовые характеристики равномерного на отрезке [a, b] непрерывного распределения находятся по формулам

М(Х) = ;Д(Х) = . (7.3)

Вероятность попадания этой случайной величины на отрезок [c,d][a, b] находится по формуле

Р(с<Х<d) = . (7.4)

Дифференциальная функция показательного распределения выражается аналитически равенством

f(х) = (7.5)

Положительная постоянная  называется параметром показательного распределения. Интегральная функция F(х) имеет вид

F(х) = (7.6)

Числовые характеристики показательного распределения находятся по следующим формулам:

М(Х) = ;Д(Х) = ; (Х) = . (7.7)

Вероятность попадания на промежуток <а, b> непрерывной случайной величины, распределенной по показательному закону, находится по формуле

Р(с<Х<d) = е^а- е^b. (7.8)

Плотность нормального распределения имеет вид

f(х) = ,  > 0. (7.9)

Числа а и называются параметрами нормального распределения. При а=0 и=1 нормальное распределение называется нормированным. Функция нормированного распределения табулирована. Интегральная функция общего нормального распределения имеет вид

F(х) = . (7.10)

Математическое ожидание нормального распределения равно параметру а:

М(Х) = а. (7.11)