Дисперсия нормального распределения

Д(Х) = ². (7.12)

Следовательно, среднее квадратическое отклонение равно второму параметру :

 (Х) = . (7.13)

Вероятность того, что нормальная случайная величина Х примет значение, принадлежащее промежутку <, >, находится по формуле

Р(<Х<) = ФФ, (7.14)

где Ф(х) – функция Лапласа, для которой имеется таблица ее значений. Вероятность того, что отклонение такой случайной величины по абсолютной величине будет меньше заданного числа >0, находится из равенства

Р = 2Ф . (7.15)

Правило трех сигм записывается в виде равенства

Р = 2Ф (3)  0,9973. (7.16)

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Определить вероятность того, что случайная величина, равномерно распределенная на отрезке [2, 7], примет значение в промежутке [5, 6].

Решение. С помощью формулы (7.4) получаем

Р (5  Х  6) = = 0,2.

Задача 2. Троллейбусы некоторого городского маршрута идут с интервалом в 6 минут. Пассажир подходит к остановке в некоторый момент времени. Требуется: 1) определить плотность вероятности и функцию распределения случайной величины Х – времени, в течение которого пассажир будет ожидать троллейбус; 2) вычислить ее математическое ожидание и дисперсию; 3) найти вероятность появления пассажира на остановке не ранее, чем через две минуты после ухода предыдущего троллейбуса, но не позднее, чем за минуту до отхода следующего.

Решение. 1. Время, в течение которого пассажир будет ожидать троллейбус, представляет собой случайную величину, имеющую равномерное распределение. Следовательно, по формуле (7.1) определим плотность распределения случайной величины Х:

f(х) =

По формуле (7.2) получаем выражение для функции распределения:

F(х) =

2. Для нахождения математического ожидания и дисперсии применим формулы (7.3). Получим следующие значения:

М(Х) = ;Д(Х) = = 3.

3. Если пассажир подойдет к остановке не ранее чем через две минуты после ухода предыдущего троллейбуса, но не позднее чем за минуту до отхода следующего, то он будет ожидать троллейбус не менее минуты и не более четырех минут. По формуле (7.4) определяем вероятность того, что случайная величина Х примет значение в промежутке [1, 4]:

Р (1  Х  4) = =.

Задача 3. Случайная величина подчинена показательному закону распределения с параметром . Найти вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее ее математического ожидания.

Решение. Для показательного распределения, согласно (7.7), М(Х)=. Вероятность того, что случайная величинаХ примет значение в интервале , определяем по формуле (7.8):

Р (0 < Х < ) = e -e= 1- 0,6 321.

Задача 4. Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет вид: для t<0 F(t)=0 и для t 0 F(t) = 1-е . Найти: 1) плотность вероятностиf(t); 2) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т.

Решение. 1. Для отыскания f(t) можно воспользоваться равенством f(t)=F (t) или формулами (7.6) и (7.5) с =. Тогда

f(t) =

2. Вероятность безотказной работы аппаратуры за время Т вычислим по формуле

Р (t T) = 1- Р (0  t < T).

Значение Р (0  t < T) находим по формуле (7.8)

Р (0  t < T) = .

Следовательно, Р (t T) = 1-(1-е ^-1) = е ^–1  0,367 879.

Задача 5. Найти плотность распределения нормально распределенной случайной величины, если известны ее числовые характеристики: М(Х) = 4, (Х)=. Построить график этого распределения.

Решение. Согласно (7.11)-(7.13) и условию задачи имеем, что а=4, =. Плотность вероятности нормально распределенной случайной величины имеет вид (7.9). Подставляя данные значения а и в (7.9), получим искомую плотность вероятности

f(х)=.

Функция f(х) имеет максимум при х=4, равный f(4)=0,23 033. Абсциссы точек перегиба: х₁= а- и х₂=а+. В данном случае

х₁=4-2,268 и х₂=4+5,732; их ординаты: f(х₁)=f(х₂)=0,1 397. График функции симметричен относительно прямой х=4, ось абсцисс является асимптотой.

y

4-4 4+x

Задача 6. Рост взрослых мужчин является случайной величиной, которая распределена по нормальному закону. Пусть ее математическое ожидание равно 176 см, а дисперсия – 25. Найти плотность распределения вероятностей и функцию распределения этой случайной величины. Вычислить вероятность того, что рост наугад выбранного мужчины будет находиться в пределах от 173 до 180 см.

Решение. По условию задачи а=176, ==5. Поэтому согласно (7.9) плотность распределения вероятностей данной случайной величины такова:

f(х) = .

Найдем функцию распределения по формуле (7.10):

F(х) = .

Введем подстановку z=, тогдаdt=5dz. При t - переменная z-, при t=х переменная z=. ПолучимF(х)=Ф.

Здесь учтено, что (интеграл Пуассона). Вычислим по формуле (7.14) вероятность того, что выбранный наугад мужчина будет иметь рост от 173 до 180 см:

Р(173<Х<180)=Ф-Ф= Ф(0,8) – Ф(-0,6) =Ф(0,8) +Ф(0,6).

Из приложения 2 ([5]) находим Ф(0,8)0,2 881, Ф(0,6)0,2 257. Окончательно имеем: Р(173<Х<180)  0,5 138.

Задача 7. Завод изготовляет шарики для подшипников. Номинальный диаметр шариков d₀=5 мм. Вследствие неточности изготовления шарика фактический его диаметр – случайная величина, описываемая нормальным законом распределения со средним значением d₀ и средним квадратическим отклонением =0,05. При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от номинального больше чем на 0,1 мм. Определить, какой процент шариков будет отбраковываться.

Решение. Пусть Х – случайная величина, выражающая диаметр шарика. По условию задачи требуется определить в процентах Р. Определим вероятность противоположного события, т.е.Р. Применяя формулу (7.15), получим

Р= 2Ф= 2Ф(2).

По таблице (приложение 2 из [5]) находим Ф(2)0,4 772. Тогда искомая вероятность равна

Р= 1-Р 1- 0,9 544 = 0,0 456.

Таким образом, при данном технологическом процессе около 4,6% шариков будут отбраковываться.

Задача 8. Средний процент выполнения плана определенной группой предприятий составляет 106%, среднее квадратическое отклонение =8%. Полагая, что процент выполнения плана этой группой предприятий подчиняется нормальному закону, определить, в каких границах следует ожидать процент выполнения плана этими предприятиями с вероятностью 0,95.

Решение. Применим формулу (7.15). Согласно условию задачи а=М(Х)=106, =8, Р=0,95. Неизвестную величину находим как решение трансцендентного уравнения

Ф= 0,475.

С помощью таблицы (приложение 2 из [5]) определяем =1,96, откуда=81,96=15,68. Итак, с вероятностью Р=0,95 можно ожидать, что процент выполнения плана данной группой предприятий будет находиться в границах от 90,32% до 121,68%.

З а д а ч и