Тема 2. Классические теоремы теории вероятностей

Произведение событий. Независимые, попарно независимые и независимые в совокупности события. Теоремы умножения вероятностей независимых событий. Зависимые события. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей зависимых событий. Сумма событий. Несовместные и попарно несовместные события. Теоремы сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Теорема о сумме вероятностей событий, образующих полную группу. Противоположные события и теорема о сумме их вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из независимых в совокупности событий. Совместные события. Теоремы сложения вероятностей совместных событий. Гипотезы, формулы полной вероятности и Байеса.

Л и т е р а т у р а

[2], гл. 1, § 4, гл.2, §2-4; [3], гл.3, [5], гл. 2, §1-3, гл.3, §1-5, гл.4, § 1-3; [6], гл.1; [7], гл. 2-4; [8], гл.1, § 4-6, [9], гл.1, § 5-8; [10], гл.1, § 4,5; [11], гл.27, § 186-188; [12], ч.2, гл.1, § 3,4; [13], гл.20, § 3-6; [15], гл.3; [16], гл.1, 1.3 - 1.5.

О с н о в н ы е ф о р м у л ы и м е т о д и ч е с к и е

у к а з а н и я

Вероятность Р(АВ) произведения АВ двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий:

Р(АВ) = Р(А) Р(В). (2.1)

Вероятность произведения нескольких независимых в совокупности событий вычисляется по формуле

Р(А₁  А_n) = Р(А₁)  Р(А_n). (2.2)

Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого события, вычисленную в предположении, что первое уже наступило:

Р(АВ) = Р(А) Р_А(В) = Р(В) Р_В(А). (2.3)

Для вычисления вероятности произведения нескольких зависимых событий имеет место формула

Р(А₁  А_n) = Р(А₁) Р(А₂) Р(А₃)  Р(А_n). (2.4)

Вероятность Р(А+В) суммы А+В двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В) = Р(А) + Р(В). (2.5)

Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий вычисляется по формуле

Р(А₁+  + А_n) = Р(А₁) +  + Р(А_n). (2.6)

Сумма вероятностей событий А₁, …, А_n, образующих полную группу, равна единице, т.е.

Р(А₁) +  + Р(А_n) = 1. (2.7)

В частности, сумма вероятностей двух противоположных событий А и равна единице:

Р(А) + Р() = 1. (2.8)

Вероятность Р появления хотя бы одного из нескольких независимых в совокупности событий А₁,…, А_n находится по формуле

Р = 1 – Р() Р(). (2.9)

Если события А₁,…, А_n имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность Р появления хотя бы одного из них вычисляется по формуле

Р = 1 – qⁿ, (2.10)

вытекающей из формулы (2.9) (q – вероятность противоположных событий ).

Вероятность суммы двух совместных событий находится по формуле

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (2.11)