Тема 10. Статистические оценки
Понятие о статистических оценках параметров известного теоретического распределения и неизвестных числовых характеристик генеральной совокупности. Точечные и интервальные оценки. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценки. Оценка генеральной средней по выборочной средней. Исправленная выборочная дисперсия. Оценка генеральной дисперсии по выборочной. Доверительная вероятность (надежность) оценки. Доверительный интервал и доверительные границы. Точность оценки. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при известном среднем квадратическом отклонении признака генеральной совокупности. Понятие о распределении Стьюдента. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном (среднем квадратическом отклонении). Оценка истинного значения измеряемой величины.
Л и т е р а т у р а
[1], раздел 2, гл.6, 6.2.2, раздел 3, гл.8; [4], §1; [5], гл.16, § 1, 2, 5, 13-17; [8], гл.7, § 1-5; [9], гл.10, § 1, 2, 4, гл.5, § 3; [11], гл.32, § 216-218; [12], ч.2, гл.5, § 16-19; [16], гл.4, 5.
О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы
Одной из задач математической статистики является задача о нахождении неизвестных параметров распределения. При этом характер закона распределения известен заранее до опыта из теоретических соображений. Например, известно, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона:
Р(Х=m)
=
(m=0,
1, 2,…),
а
надо найти параметр .
Или известно, что случайная величина Х
подчинена нормальному закону, плотность
распределения вероятностей которого
имеет вид f(х)
=
и содержит два параметра а и.
Тогда возникает вопрос о нахождении
этих параметров а и .
В некоторых задачах и сам вид закона
распределения несущественен. Требуется
только найти числовые характеристики
некоторого признака генеральной
совокупности (например, генеральную
среднюю или генеральную дисперсию).
Задача определения параметров (или
числовых характеристик) не может быть
решена точно. Ставится задача об
определении «подходящих значений» для
искомых параметров (так называемых
«оценок»), т.е. задача – найти приближенно
значение неизвестных параметров. При
этом в распоряжении исследователя
имеется экспериментальный материал –
данные выборки. Через эти статистические
данные и выражают оцениваемый параметр.
Пусть * есть точечная статистическая оценка неизвестного параметра теоретического распределения некоторого количественного признака генеральной совокупности. Точечная оценка характеризуется одним числом. При этом это число * есть функция значений данного количественного признака выборки: *= *(х1,…, хr). Оценку * можно рассматривать как случайную величину, принимающую определенные значения при извлечении из генеральной совокупности различных выборок одного и того же объема.
К статистической оценке предъявляется ряд естественных требований, которые обеспечивают в некотором смысле ее «доброкачественность».
Если при любом объеме выборки
М(*)=, (10.1) то статистическая оценка является несмещенной. Смещенной называют оценку, математическое ожидание которой не равно оцениваемому параметру. Соблюдение требования (10.1) не устраняет ошибок, но гарантирует от систематических ошибок в сторону занижения и в сторону завышения от истинного значения . Требование несмещенности особенно важно при малом объеме выборки. В некоторых случаях приходится применять и незначительно смещенные оценки.
Несмещенная оценка не всегда дает хорошее приближение оцениваемого параметра, так как возможные значения * могут быть сильно рассеяны вокруг своего среднего значения М(*), т.е. дисперсия Д(*) может быть значительной. Из двух точечных несмещенных оценок 1* и 2* параметра лучшей (эффективней) считают ту, дисперсия которой меньше. Если несмещенная оценка по сравнению с другими имеет наименьшую дисперсию, то она называется эффективной.
Если при n→ * сходится по вероятности к оцениваемому параметру , то статистическая оценка называется состоятельной. Это означает, что при любом сколь угодно малом положительном выполняется равенство
(10.2)