Если события а, в, с совместны, то

Р(А+В+С) = Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС). (2.12)

Формула полной вероятности имеет вид

Р(А) = Р(Н₁) Р(А)+ +Р(Н_n) Р(А), (2.13)

при этом событие А может наступить вместе с одним из несовместных событий Н₁, …, Н_n, образующих полную группу. Р(Н_i) – это априорная вероятность события Н_i.

Апостериорные вероятности Р_А(H_i) гипотез Н_i (переоцениваются вероятности гипотез после наступления события А) вычисляются по следующим формулам Байеса:

Р_А(Н_i) = (i=1,…, n). (2.14)

При анализе и решении задач этой темы обычно придерживаются следующей схемы. Сначала выясняют, в чем состоит рассматриваемое в задаче испытание, и обозначают событие, вероятность которого требуется определить. Потом вводят (и обозначают) более простые события, через которые выражается исходное. Обычно об этих более простых событиях что-то говорится в условии задачи. В частности, их вероятности либо даны, либо легко вычисляются. Таким образом, исходное событие должно быть представлено либо в виде произведения более простых, либо в виде их суммы, либо в виде сумм произведений. Тогда для нахождения искомой вероятности можно будет применять различные теоремы умножения и сложения вероятностей. В частности, важно уяснить, какие из основных формул, приведенных выше, придется применять.

Чтобы осуществить первый этап (выражение исходного события через более простые), надо четко уяснить понятия произведения и суммы (несовместных и совместных) событий, уметь их формулировать различным образом.

При применении теорем умножения надо знать понятия: независимые и зависимые события, независимые в совокупности события, условная вероятность. Выяснив число событий в произведении и их свойства, можно будет определить, какую из формул (2.1) – (2.4) надо применять.

При выборках с возвращением предметов (объектов) события будут независимы, при выборках без возвращения – зависимы.

При применении теорем сложения надо знать понятия: несовместные и совместные события, попарно несовместные события. Тогда можно будет применять формулы (2.5), (2.6) и (2.11), (2.12). При этом в формулах (2.11) и (2.12) придется вычислять вероятности произведений событий, что приведет к формулам (2.1) – (2.4), т.е. надо будет учитывать независимы или зависимы сомножители (события).

При вычислении вероятности наступления хотя бы одного из нескольких событий рекомендуется вначале найти вероятность противоположного события, а потом использовать формулу (2.8). Этот принцип целесообразно применять, если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие. Если эти события независимы в совокупности, то можно сразу использовать формулу (2.9); если они ещё и равновозможны, то применяется формула (2.10).

При решении задач на формулу (2.13) надо ввести исходное событие А, составить гипотезы Н₁, …, Н_n и проверить, что они образуют полную группу событий. Далее, для всех i = 1,…, n вычисляют Р(Н_i) и Р(А), если они не даны в условии задачи. Затем вычисляетсяР(А).

Формулы Байеса тесно связаны с формулой полной вероятности (знаменатель правой части (2.14) дает Р(А)). Если из условия задачи известно, что событие А уже наступило, то по формулам Байеса можно вычислить вероятность любой гипотезы Н_i при условии, что А произошло.

Изложенное поясняется решением типовых задач.

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Электрическая цепь состоит из трех элементов, включенных параллельно и работающих независимо друг от друга. Вероятность выхода из строя за время Т первого элемента равна 0,1; второго – 0,15; третьего – 0,2. Найти вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Решение. Так как соединение параллельное, то цепь будет разорвана (событие А), если откажут все три элемента. Через А₁, А₂, А₃ обозначим события, состоящие в том, что за время Т откажут соответствующие элементы (первый, второй и третий). Тогда А=А₁ А₂ А₃. По условию дано, что Р(А₁)=0,1, Р(А₂)=0,15, Р(А₃)=0,2. События А₁, А₂, А₃ независимы в совокупности. Применяя формулу (2.2), получим Р(А)=0,10,150,2=0,003.

Задача 2. По учебному плану для студентов первого курса заочного факультета по высшей математике предусмотрены зачет и экзамен. Вероятность сдачи зачета для некоторого студента равна 0,7, а вероятность сдачи экзамена при условии, что он сдал зачет, равна 0,85. Какова вероятность того, что этот студент не будет иметь задолженности по высшей математике?

Решение. Испытание состоит в том, что студент сдает зачет и экзамен по курсу высшей математики. Вероятность Р(А) того, что студент сдаст зачет (событие А), равна 0,7. Вероятность того, что он сдаст экзамен (событие В), вычисленная в предположении, что уже получен зачет, т.е. условная вероятность Р_А(В)=0,85. Событие АВ означает, что студент не будет иметь задолженности. По формуле (2.3) искомая вероятность Р(АВ)=0,70,85 = 0,595.

Задача 3. 20 студентов распределяются на практику. Им предоставлено 8 мест в Хабаровске, 6 – в Комсомольске-на-Амуре, 5 – в Южно-Сахалинске и одно в Магадане. Какова вероятность того, что два определенных студента окажутся на практике в одном городе Хабаровского края?

Решение. К Хабаровскому краю относятся два из указанных городов. Пусть событие А состоит в том, что два определенных студента попадут на практику в Хабаровск, а В – эти же студенты попадут в Комсомольск-на-Амуре. Событие А+В будет означать, что два определенных студента окажутся на практике в одном городе Хабаровского края. Так как А и В несовместны, то по формуле (2.5):

Р(А+В) =

Замечание. Эту задачу можно было бы решать непосредственно по классическому определению, применив к подсчету числа благоприятных ситуаций правило суммы выбора несовместных объектов.

Задача 4. Три стрелка независимо друг от друга стреляют по одной цели, причем каждый из них делает по одному выстрелу. Вероятность попадания в цель первого стрелка равна 0,9, второго – 0,6, третьего – 0,7. Найти вероятность того, что будет две пробоины.

Решение. Пусть А₁, А₂, А₃ – события, состоящие в том, что соответственно в цель попал первый, второй, третий стрелок. По условию дано, что Р(А₁)=0,9, Р(А₂)=0,6, Р(А₃)=0,7. Противоположные события имеют следующие вероятности: Р( )=0,1, Р()=0,4,Р()=0,3. Две пробоины (событие А) могут быть либо в результате попаданий первого и второго стрелков (и промаха третьего), либо в результате попаданий первого и третьего стрелков (и промаха второго), либо в результате попаданий второго и третьего стрелков (и промаха первого). Следовательно, на основании определения суммы и произведения событий А=А₁ А_{2 3} + А_{1 2} А₃ + ₁ А₂ А₃. Очевидно, что стоящие в сумме события попарно несовместны, а стоящие в произведениях независимы в совокупности. Применяя соответствующие теоремы сложения и умножения вероятностей (формулы (2.6) и (2.2)), получим:

Р(А) = 0,9·0,6·0,3+0,9·0,4·0,7+ 0,1 ·0,6 ·0,7 = 0 ,162+0,252+0,042 = 0,446.

Задача 5. Вероятность покупки обуви определенного размера и фасона для покупателя в одном магазине равна 0,4, в другом – 0,7, в третьем – 0,8. Какова вероятность того, что покупатель приобретет необходимую обувь?

Решение. Пусть А₁, А₂, А₃ – события, состоящие в том, что покупатель приобрел необходимую ему обувь соответственно в первом, втором, третьем магазине. Событие А – покупатель приобрел необходимую ему обувь – состоит в наступлении хотя бы одного из событий А₁, А₂, А₃, независимых в совокупности. Тогда для вычисления Р(А) можно применить формулу (2.9). По условию дано, что Р(А₁)=0,4, Р(А₂)=0,7, Р(А₃)=0,8. Тогда Р( )=1-0,4=0,6, Р()=1-0,7=0,3,

Р()=1-0,8=0,2. Следовательно,Р(А)=1-0,6·0,3·0,2=0,964.

Задача 6. Вероятность выигрыша по одному любому лотерейному билету равна 0,02. Найти вероятность выигрыша хотя бы по одному билету для владельца 4 билетов.

Решение. Условия задачи позволяют применить формулу (2.10). Так как р=0,02 (q=0,98), n=4, то искомая вероятность

Р = 1 - (0,98)⁴  0,0 776.

Задача 7. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих прибора. Вероятность того, что при аварии сработает первый прибор, равна 0,98. Для второго прибора такая вероятность равна 0,96. Найти вероятность того, что при аварии поступит сигнал хотя бы одного прибора.

Решение. Через А обозначим событие, что об аварии поступит сигнал первого прибора, а через В – второго. По условию дано, что Р(А)=0,98, Р(В)=0,96. А+В будет означать, что об аварии поступит сигнал хотя бы одного прибора. События А и В совместны, но независимы. Тогда, применяя формулы (2.11) и (2.1), получим

Р(А+В)=0,98+0,96-0,98·0,96=0,9 992.

Замечание. Так как события А и В независимы, то для вычисления искомой вероятности можно применить формулу вида (2.9). Тогда

Р(А+В) = 1 – Р()·Р()=1-0,02·0,04=0,9 992.

Естественно, что оба ответа совпадают.

Задача 8. По самолету производится три одиночных выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при втором – 0,7, при третьем – 0,8. Для вывода самолета из строя заведомо достаточно трех попаданий: при одном попадании самолет выходит из строя с вероятностью 0,4, при двух попаданиях – с вероятностью 0,8.Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов самолет будет сбит.

Решение. Самолет может быть сбит (событие А), если произошло одно попадание (событие Н₁), два попадания (событие Н₂) и, наконец, три попадания (событие Н₃). Тогда событие А представимо в виде А=Н₁А+Н₂А+Н₃А. Следовательно, можно применить формулу полной вероятности (2.13), если найдем все Р(Н_i) и Р(А). Условные вероятностиР(А) даны по условию задачи:Р(А)=0,4 (вероятность того, что самолет будет сбит при одном попадании),Р(А)=0,8 (вероятность того, что самолет будет сбит при двух попаданиях),Р(А)=1 (при трех попаданиях самолет заведомо выходит из строя). Надо еще найти вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃. Пусть В_i (i=1, 2, 3) – попадание при i-ом выстреле, а – промах. Вероятности событий В₁, В₂, В₃ даны по условию: Р(В₁)=0,6; Р(В₂)=0,7; Р(В₃)=0,8. Следовательно, Р()=0,4,Р()=0,3,Р()=0,2. Событие Н₁ (произошло ровно одно попадание при трех одиночных выстрелах) представимо в виде:

Н₁ = В₁+В₂+В₃.

Применяя теоремы сложения и умножения вероятностей, получим

Р(Н₁)=0,60,30,2+0,40,70,2+0,40,30,8=0,188.

Аналогично, Н₂=В₁В₂+В₁В₃+В₂В₃, Н₃=В₁В₂В₃. Тогда Р(Н₂)=0,60,70,2+0,60,30,8+0,40,70,8=0,452, Р(Н₃)=0,60,70,8=0,336.

Следовательно, Р(А) = Р(Н₁)Р(А) + Р(Н₂)Р(А) +Р(Н₃)Р(А) =

= 0,1880,4 + 0,4520,8 + 0,3361 = 0,7 728

Замечание. Введенные события Н₁, Н₂, Н₃ не образуют полной системы (Р(Н₁)+Р(Н₂)+Р(Н₃) = 0,188+0,452+0,336 = 0,976  1). Пропущена гипотеза Н₀ (в самолет не попало ни одного снаряда). Так как Н₀=, тоР(Н₀) = 0,40,30,2 = 0,024. Очевидно, что Р(А)=0 (самолет не будет сбит, если не попало ни одного снаряда). Тогда член Р(Н₀) Р(А) в формуле полной вероятности обращается в нуль, поэтому гипотеза Н₀ не вводилась в рассмотрение. Так обычно и поступают при применении формулы (2.13), рассматривая не полную группу гипотез, а только те из них, при которых данное событие возможно.

Задача 9. В группе 18 девушек и 6 юношей. Известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин являются дальтониками. Наудачу выбранный из этой группы студент при проверке оказался дальтоником. Найти вероятность того, что им оказался юноша.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что наудачу выбранный студент является дальтоником. В условии сказано, что событие А уже наступило. Введем гипотезы: Н₁ – выбранный студент является юношей, Н₂ – девушкой. Согласно условию задачи Р(Н₁)=,Р(Н₂)=. Эти события образуют полную группу. Далее, в условии задачи даны условные вероятности:Р(А)=0,05,Р(А)=0,0 025. Требуется вычислитьР_А(Н₁), т.е. вероятность того, что выбранный дальтоник оказался юношей. Применим формулу (2.14) при i=1 (в нашей ситуации n=2). Получим, что

Р_А(Н₁) =

З а д а ч и

1. Покупатель приобрел электрокофеварку и электрокофемолку. Вероятность выхода из строя в течение гарантийного срока для электрокофеварки равна 0,05; а для электрокофемолки такая вероятность равна 0,1. Определить вероятность того, что оба прибора выдержат гарантийный срок.

2. Для некоторой местности число ясных дней в августе равно 20. Определить вероятность того, что первого и второго августа будет хорошая погода.

3. На каждой из семи одинаковых карточек написана одна из букв А, В, О, Р, С, Т, А. Какова вероятность того, что, 1) извлекая наугад все карточки по одной, получим в порядке их выхода слово «Саратов»; 2)извлекая 5 карточек, получим в порядке их выхода слово «товар»?

4. В урне находятся 40 черных, 26 коричневых, 22 красных и 12 синих шаров. Найти вероятность того, что вынутый наудачу из урны шар окажется синим или красным.

5. Хлебозавод выпускает в среднем 27% продукции высшего сорта и 62% продукции первого сорта. Найти вероятность того, что случайно взятое изделие окажется первого или высшего сорта.

6. Контрольная работа по теории вероятностей состоит из трех упражнений. Вероятность того, что студент решит упражнение на закон распределения для дискретной случайной величины, равна 0,6, на закон распределения для непрерывной случайной величины – 0,7, на нормальный закон – 0,9. Какова вероятность того, что студент напишет контрольную работу, если для этого достаточно решить не менее двух упражнений.

7. В двух урнах находятся шары, причем в первой урне 5 белых, 9 черных и 6 красных шаров, а во второй – 5 белых, 8 черных и 7 красных. Из каждой урны наудачу извлекается по одному шару. Какова вероятность, что оба шара одного цвета?

8. Вероятность поражения цели одной ракетой 0,95, а другой – 0,9. Найти вероятность того, что цель будет поражена, если выпущены по ней обе ракеты.

9. Вероятность того, что саженцы сливы, яблони, абрикоса приживутся при осенней посадке соответственно равны 0,9; 0,7 и 0,6. На участке высадили по одному саженцу каждого вида. Какова вероятность того, что 1) приживутся все саженцы; 2) приживется только один саженец; 3) приживется хотя бы один саженец?

10. Вероятность поражения цели при трех выстрелах из одного орудия равна 0,992. Какова вероятность поражения цели в одном отдельном выстреле?

11. Приборы изготавливаются на трех заводах. Первый завод производит 45% общего количества приборов, второй – 35%, третий – 20%. Первый завод выпускает 70% приборов высшего качества, второй – 80%, третий – 90%. В институт поступает продукция всех заводов. Какова вероятность того, что взятый для работы прибор окажется высшего качества?

12. Вероятности обращения фирмы за кредитом в один из трех банков соответственно равны: р₁=0,5; р₂=0,3; р₃=0,2. Вероятность предоставления кредита в первом банке равна 0,6, во втором – 0,4, в третьем – 0,3. Найти вероятность того, что фирма получит кредит при обращении в наудачу выбранный банк.

13. На склад поступает продукция трех фабрик. При этом продукция первой фабрики составляет 20% общего поступления, второй – 35%, третьей – 45%. Известно, что первая фабрика выпускает 3% нестандартных изделий, вторая - 2%, третья – 1%. Наудачу взятое на складе изделие оказалось нестандартным. Определить вероятность того, что это изделие выпущено третьей фабрикой.

14. Три бухгалтера обрабатывают счета. При этом первый делает 2/5 всей работы, а два других выполняют оставшуюся часть работы в равной доле. Вероятность того, что первый бухгалтер допустит ошибку при работе над отдельным счетом, равна 0,01; для второго бухгалтера эта вероятность равна 0,004, а для третьего – 0,005. При проверке счетов была найдена ошибка. Каким вероятнее бухгалтером она допущена?