На практике для вычисления дисперсии применяется формула

Д_В = , (9.7)

где (среднее квадратов значений признака), а(средняя выборочная).

При вычислении и Д_В в случае интервальной выборки за х_i в формулах (9.3) - (9.7) принимают значения х_i * - середины интервалов.

Выборочным средним квадратическим отклонением (стандартом) _В называется квадратный корень из выборочной дисперсии:

_В = . (9.8)

Начальный эмпирический момент порядка k определяется по формуле

. (9.9)

Отсюда мы видим, что начальный эмпирический момент первого порядка (k=1) равен выборочной средней .

Центральный эмпирический момент m_k порядка k определяется равенством

m_k= . (9.10)

Отсюда видно, что m₂=Д_В, т.е. центральный эмпирический момент второго порядка совпадает с выборочной дисперсией.

Равноотстоящими называют варианты, которые образуют арифметическую прогрессию с разностью h. Варианты U_i, определяемые равенством

U_i = ,

называются условными. Здесь х_i – первоначальные равноотстоящие варианты, h – разность прогрессии (шаг), С – ложный нуль (новое начало отсчета). В качестве ложного нуля можно принять любую варианту. Обычно в качестве ложного нуля выбирают варианту с наибольшей частотой или варианту, стоящую в середине вариационного ряда. Условные варианты являются целыми числами. При этом варианте, которая принята в качестве ложного нуля, соответствует условная варианта, равная нулю.

Условные эмпирические моменты порядка k определяются по формуле

. (9.11)

Легко установить, что

= h + c, (9.12)

Д_В = []h². (9.13)

Метод произведений есть некоторый удобный способ вычисления условных моментов различных порядков в случае равноотстоящих вариант. По условным моментам можно найти начальные и центральные эмпирические моменты. Вычислять условные моменты легко, так как условные вариантыU_i есть целые числа. В частности, по формулам (9.12) и (9.13) можно вычислитьи Д_В. Максимальная простота вычислений достигается, если в качестве ложного нуля С выбрать варианту, которая расположена примерно в середине вариационного ряда.

Размахом варьирования Rназывают разность между наибольшей и наименьшей вариантами:

R=х_max – x_min. (9.14)

Размах есть самая простая характеристика рассеяния вариационного ряда. Еще одной характеристикой рассеяния служит среднее абсолютное отклонение , которое определяется равенством

 = . (9.15)

Коэффициент вариации Vопределяется по формуле

V=. (9.16)

Он служит для сравнения величин рассеяния двух вариационных рядов. Большее рассеяние имеет тот ряд, у которого коэффициент вариации больше.

Важными числовыми характеристиками являются мода и медиана.

Для дискретного статистического ряда мода есть значение признака, имеющего наибольшую частоту.

Определим теперь моду интервального ряда в случае постоянной длины hвсех интервалов. Пусть (х_k,х_k+1) – модальный интервал, т.е. интервал, которому соответствует наибольшая частотаn_k. Пустьn_k-1 – частота интервала, предшествующего модальному, аn_k+1 – частота интервала, следующего за модальным. Тогда мода М₀вычисляется по формуле

М₀=х_k+h. (9.17)

Медианой М_еназывается такое значение признака, относительно которого статистический ряд делится на две части, причем в одной из них содержатся члены, у которых значения не больше М_е, а в другой – члены со значениями не меньше чем М_е.

Пусть выборка дискретна и значения признака различны. Если число вариант четное (n=2k), то

М_е=. (9.18)

Если число вариант нечетное (n=2k+1), то

М_е=х_k+1 . (9.19)

Пусть выборка дискретна и значения признака повторяются. Если объем статистической совокупности является нечетным числом, то в качестве медианы берут такое значение признака Х, для которого накопленная частота S_H (сумма частот вариант, не превосходящих данного значения) равна S_H = , где квадратные скобки показывают, что от числанужно взять только целую часть.

Если объем выборки является четным числом, то М_еопределяется равенством

М_е=, (9.20)

где - первое значение признака, для которого накопленная частотане менееи- первое значение признака, для которого накопленная частотане менее.

Если статистический ряд задан интервалами, то медиану находят следующим образом. Выявляют первый интервал, для которого накопленная частота равна или больше половины объема статистической совокупности . Этот интервал называется медианным. Величину медианы определяют по формуле

М_е=, (9.21)

где х_k- левая граница медианного интервала;S_k-1 – накопленная частота интервала, предшествующего медианному;n_k– частота медианного интервала.

Асимметрия и эксцессэмпирического распределения определяются равенствами:

, (9.22)

, (9.23)

где m₃,m₄ – центральные эмпирические моменты, соответственно, третьего и четвертого порядка. Эти характеристики используют для оценки отклонения эмпирического распределения от нормального.

Р е ш е н и е т и п о в ы х з а д а ч

Задача 1. Выборка шарикоподшипников, изготовленных станком-автоматом, дала после измерения на весах следующие результаты в граммах: 39, 41, 40, 40, 43, 41, 44, 42, 41, 41, 43, 42, 39, 40, 42, 43, 41, 42, 41, 39, 42, 42, 41, 42, 40, 41, 43, 41, 39, 40. Составить статистическое распределение выборки. Построить полигоны частот и относительных частот.

Решение. Значения х_i вариант выборки (вес шарикоподшипников) расположим в порядке возрастания в первой строке таблицы, а во второй строке – количество шарикоподшипников этого веса (частоты):

хi	39	40	41	42	43	44
ni	4	5	9	7	4	1

Получили дискретное статистическое распределение выборки объема n=n_i = 4+5+9+7+4+1=30. Мода М₀=41.

Построим полигон частот. Для этого откладываем по оси О_х значения х_i вариант выборки, а по оси ординат – частоты n_i. Полученные точки соединяем отрезками прямых. Это и будет полигон частот (см.рис. ниже).

n_i

9

7

5

4

1

0 39 40 41 42 43 44 х

Полигон относительных частот строится аналогично полигону частот. На оси ординат вместо частот n_i откладываем относительные частоты W_i. Полигон относительных частот изображен ниже на рисунке.

W_i

0 х

Задача 2. Составить статистическое распределение выборки – рабочих по процентам выполнения норм выработки, если произведена случайная выборка объема 20 человек и получены такие данные относительно выполнения ими норм выработки в процентах: 127, 121, 112, 114, 131, 117, 109, 107, 155, 135, 103, 145, 99, 100, 97, 102, 122, 115, 132, 105. Построить гистограммы частот и относительных частот.

Решение. Находим наибольшее и наименьшее значения варианты Х: х_наиб=155, х_наим=95. Разобьем здесь объем выборки на 7 промежутков длиной h=10. Частичные промежутки расположим в первой строке таблицы, а во второй – количество рабочих, чья выработка заключена в данном частичном промежутке. Получим следующее интервальное распределение:

Процент нормы выработки рабочих	90-100	100-110	110-120	120-130	130-140	140-150	150-160
Частоты (ni)	2	6	4	3	3	1	1

Построим гистограмму частот распределения. Для этого по оси Oх отложим промежутки распределения выборки и на них как на основаниях строим прямоугольники, высоты которых равны соответственно . Гистограмма частот изображена на рисунке ниже.

0 90 100 110 120 130 140 150 160 х

Нетрудно убедиться, что площадь построенных прямоугольников равна объему выборки:

Гистограмму относительных частот строим аналогично гистограмме частот. Только на оси ординат вместо откладываем значения, гдеW_i – относительные частоты соответствующих частичных промежутков. Изображение гистограммы относительных частот см. на рисунке.

0 90 100 110 120 130 140 150 160 х

Сумма площадей построенных прямоугольников равна единице.

Задача 3. Данные о продаже женской обуви в магазине за день заданы таблицей

Размер обуви	35	36	37	38	39	40
Количество проданных пар	4	5	9	7	4	1

Найти эмпирическую функцию распределения выборки и построить ее график.

Решение. Эмпирическую функцию распределения выборки находим по формуле (9.1). Объем выборки равен 4+5+9+7+4+1=30. Наименьшая варианта равна 35. Значит, F*(х)=0 при х35. Значения Х<36, т.е. х₁=35 наблюдались 4 раза. Следовательно, F*(х)=при 35< х  36. Значения Х<37 (х₁=35, х₂=36) наблюдались 4+5=9 раз. Следовательно, F*(х)=при 36< х  37. Аналогично находим: F*(х) = при 37< x  38; F*(х) = при 38< х  39; F*(х) = при 39< х  40. Так как х=40 – наибольшая варианта, то F*(х)=1 при х>40. Запишем эмпирическую функцию:

F*(х) =

График этой функции изображен на рисунке.

y

0. х

Задача 4. Распределение урожайности сои на площади в 1000 га дано в таблице

Урожай с га в центнерах	9	9,6	10	10,5	11,4	12
Число га	80	100	120	160	200	340

Определить выборочную среднюю, выборочную дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение урожайности сои.

Решение. Выборочная средняя урожайности с га вычисляется по формуле (9.4):

= (ц).

Для определения выборочной дисперсии воспользуемся формулой (9.6). Получим

Д_В =

+

Выборочное среднее квадратическое отклонение _В находим по формуле (9.8): _В =  1,02.

Задача 5. Вычислить выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации для распределения заработной платы водителей автобазы (в руб. за месяц):

Зарплата (руб./месяц)	200-250	250-300	300-350	350-400	400-450	450-500
Количество водителей	10	30	20	20	10	10

Решение. Превратим данный интервальный ряд в дискретный, взяв в качестве вариант середины интервалов:

Зарплата (руб./месяц)	225	275	325	375	425	475
Количество водителей	10	30	20	20	10	10

По формуле (9.4) выборочной средней найдем, что

=

Вычислим выборочную дисперсию по формуле (9.7):

Д_В =

Извлекая корень квадратный из дисперсии, получим выборочное среднее квадратическое отклонение _В = 73,5.

Коэффициент вариации заработной платы водителей автобазы вычислим по формуле (9.16):

V = .

Задача 6. Дано следующее статистическое распределение выборки:

хi	3	5	6	8
ni	2	4	3	5

Вычислить начальные и центральные моменты первого, второго и третьего порядка, размах варьирования и среднее абсолютное отклонение.

Решение. Используя формулу (9.9), находим начальные моменты:

Центральные моменты вычисляем по формуле (9.10):

m₁=0, m₂=Д_В=m₃=

Используя формулы (9.14) и (9.15), получим

R=8-3=5, =

Задача 7. Магазин в течение месяца реализовал 100 мужских костюмов. Распределение их по размерам дано таблицей

Размер костюма	44	46	48	50	52	54	56	58
Количество костюмов	3	9	16	24	29	15	3	1

Найти модальное значение размера проданного костюма.

Решение. Из таблицы видно, что частота 52-го размера проданного костюма равна 29 и она является наибольшей. Следовательно, мода М₀=52.

Задача 8. Товарооборот магазина по месяцам составил (в тыс. руб.): 50; 53; 60; 52; 54; 48; 44,5; 62; 55; 53,5; 58, 64. Определить медиану и размах товарооборота.

Решение. Расположив месячные товарообороты в порядке их возрастания, получим ряд: 44,5; 48; 50; 52; 53; 53,5; 54; 55; 58; 60; 62; 64. В этом вариационном ряде четное число данных и значения признака различны, поэтому по формуле (9.18)

М_е =