- •Содержание
- •Тема 2. Классические теоремы теории вероятностей
- •Если события а, в, с совместны, то
- •Формула полной вероятности имеет вид
- •Тема 3. Повторные независимые испытания
- •Тема 4. Случайные величины и законы их распределения
- •Тема 5. Числовые характеристики случайных величин
- •Пусть с – постоянная величина. Тогда
- •Для вычисления дисперсии используется формула
- •Дисперсия обладает свойствами
- •Тема 6. Основные дискретные случайные величины и их числовые характеристики
- •Если случайная величина распределена по закону Пуассона, то
- •Тема 7. Основные непрерывные случайные величины и их числовые характеристики
- •Плотность нормального распределения имеет вид
- •Дисперсия нормального распределения
- •Правило трех сигм записывается в виде равенства
- •2. Для нахождения математического ожидания и дисперсии применим формулы (7.3). Получим следующие значения:
- •Ошибка указания времени часами со скачущей минутной стрелкой имеет равномерное распределение. Определить вероятность того, что при определении времени ошибка не будет превышать 20 секунд.
- •Тема 8. Закон больших чисел и центральная предельная теорема
- •В предельной форме утверждения теоремы Бернулли имеют вид
- •Тема 9. Основные понятия математической статистики. Числовые характеристики
- •На практике для вычисления дисперсии применяется формула
- •Легко установить, что
- •Вычислим размах товарооборота по формуле (9.14). Получим, что
- •Тема 10. Статистические оценки
- •Если дисперсия несмещенной оценки при n→стремится к нулю, то такая оценка будет и состоятельной. Это следует из неравенства Чебышева (см.(8.2))Рдля случайной величины*.
- •Тема 11. Корреляция и регрессия
- •Непосредственно из этого определения следует, что
- •Тема 12. Проверка статистических гипотез
Тема 5. Числовые характеристики случайных величин
Математическое ожидание дискретных и непрерывных случайных величин. Вероятностный смысл математического ожидания. Постоянная величина, произведение постоянной на случайную, сумма случайных величин. Отклонение случайной величины от ее центра. Независимые и взаимно независимые случайные величины. Произведение случайных величин. Квадрат случайной величины, целая положительная степень случайной величины. Свойства математического ожидания. Мода и медиана. Дисперсия дискретных и непрерывных случайных величин. Свойства дисперсии. Формула для вычисления дисперсии. Среднее квадратичное отклонение. Понятие о моментах распределения. Коэффициент корреляции и его свойства.
Л и т е р а т у р а
[2], гл.4, § 1, 3, 5, 6; [3], гл.5, 5.5-5.7, гл.10, 10.2; [5], гл.7, § 1-4, гл.8, § 1-5, 7-10, гл.12, § 1; [6], гл.5; [7], гл.8, § 20, гл.9, § 21, 22, гл.10, § 23-25; [8], гл.3, § 2-4, гл.4, § 4, 6; [9], гл.2, § 7-9, гл.3, § 8; [10], гл.4, § 1, 2; [11], гл.29, § 201, 202, 204; [12], гл.3, § 10, 11; [13], гл.20, § 9, 10, 14; [14], § 2; [15], гл.6, § 1-4; [16], гл.2, 2.2.4.
О с н о в н ы е п о л о ж е н и я и ф о р м у л ы
Математическое ожидание М(Х) дискретной случайной величины с конечным числом значений определяется равенством
М(Х) = (5.1)
и в случае счетного числа значений – равенством
М(Х) = (5.2)
при этом предполагается, что ряд абсолютно сходится. Для непрерывной случайной величины М(Х) определяется формулой
М(Х) = (5.3)
Интегралы в равенстве (5.3) берутся по соответствующему множеству значений случайной величины, при этом предполагается, что несобственные интегралы сходятся абсолютно.
Пусть с – постоянная величина. Тогда
М(С)=С, М(СХ)=СМ(Х). (5.4)
Математическое ожидание алгебраической суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
М(ХY) = М(Х) М(Y). (5.5)
Это свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.
Если Х и Y независимы, то
М(ХY) = М(Х) М(Y). (5.6)
Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Случайная величина Х-М(Х) называется отклонением случайной величины от ее центра. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
М[X-М(Х)] = 0. (5.7)
Дисперсией (рассеянием) Д(Х) случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее центра (математического ожидания):
Д(Х) = М[Х-М(Х)]2. (5.8)
Для вычисления дисперсии используется формула
Д(Х) = М(Х2) – [М(Х)]2. (5.9)