матан 3 курс 2013 / лекции / Oglobina

					90
= x ×	1	+	1	×1 =		x	+	1	.
	y x					y x
2. Функція z = x y .
Якщо у –					стала, то маємо степеневу функцію. Її похідна об-
числюється за табличною формулою: z¢										= (x y )′x = y × x y−1 .
									x

Якщо ж стала х, то функція розглядається, як показникова, отже, її похідна обчислюється за іншою табличною формулою

z¢y = (x y )′ y = x y ×ln x .

Приклад 2

Міжміський потік пасажирів аналітично виражається формулою z = x2 / y , де x – кількість мешканців регіону; у – від-

стань між містами. Знайти частинні похідні функції потоку пасажирів і пояснити їх зміст.

Розв’язання

	x2		′
1. z¢	=		x
x		y

=	1	× 2x =	2x	- цей результат означає, що для
	y
			y

сталої відстані між містами збільшення потоку пасажирів прямо пропорційно подвоєній кількості мешканців.

	x2		′
2. z¢	=			y
x		y

	2			1				x2
= x			-				= -
					2				2 - для сталої кількості меш-
		×
				y				y

канців регіону збільшення потоку пасажирів зворотно пропорційно квадрату відстані між містами.

4.2.2 ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ

Означення 1

Диференціалом функції декількох змінних називається сума добутків її частинних похідних на прирости відповідних незалежних змінних. Для функції двох змінних формула для диференціала буде мати вигляд

91

′	′
dz = zx	× Dx + z y

Як відомо x = dx + α ( x) x;

де lim a(x) = 0 та

x→0

× Dy .

(4.2)

з	теорії	функції	однієї	змінної
y = dy + β (		y) y ,

lim b(x) = 0 .

x→0

Отже, за умови,	що x → 0,	y → 0 (4.2) можна переписати у
вигляді
dz = z¢ × dx + z¢ × dy, або dz =		∂z × dx +	∂z	× dy .	(4.3)
x	y	¶x	¶y

Означення 2

Функція z = F (x, y) називається диференційованою в точці

M0 (x0 , y0 ), якщо її повний приріст може бути поданим у вигляді

z = dz + α x + β y ,		(4.4)
де α = α(x, y) та	β = β (x, y) –	нескінченно малі величини за
умов, що x → 0 і	y → 0 .

Існування частинних похідних в точці для функції двох (декількох) змінних є необхідною, але не достатньою умовою диференційованості функції в точці. Достатню умову декларує така теорема.

Теорема

Якщо частинні похідні функції z = F (x, y) існують у

деякому малому околі точки M0 (x0 , y0 ), а функція z = F (x, y) неперервна в самій точці M0 (x0 , y0 ), то функція z = F (x, y)

диференційована в цій точці.

Отже, в разі виконання достатніх умов граничне значення z дорівнює dz , якщо x → 0 і y → 0 .

92

4.2.3 ГРАДІЄНТ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ. ПОХІДНА ЗА НАПРЯМОМ

Означення 1

Градієнтом функції z = F (x, y) називається вектор, коор-

динати якого складаються з частинних похідних даної функ-

ції. Позначається градієнт знаком Ñz , або grad z .

Якщо згадаємо, що у звичайному ортонормованому базисі площини (у Декартовій системі координат) базисними векторами є вектори i = (1,0) та j = (0,1), то градієнт функції z = F (x, y) можна записати так

		∂z	r		∂z	r	r		r	= (z′ , z′ ).
	gradF (x, y) =		i	+		j	= z′ i	+ z′	j		(4.4)
					∂y
		∂x					x	y		x y

Нехай функція z = F (x, y) визначена в деякому околі точки M0 (x0 , y0 ), e – деякий одиничний вектор, що виходить з точки M0 (x0 , y0 ) і задає напрям зміни функції z = F (x, y). Його

напрямляючі косинуси – cosα (α - кут між вектором і віссю Ох) та cosβ ( β - кут між вектором і віссю Оу), координати одиничного вектора e збігаються з значенням його напрямляю-

чих косинусів:	ex = cosα , ey = cosβ . До того ж cos β = sinα ,
				=		= 1. Якщо переміститися в
довжина вектора		e			cos2 α + cos2 β

напрямі вектора e до точки M (x, y) і з’єднати точки М0 та М ве-

ктором l з напрямком від М0 до М, то аргументи x та y набудуть приросту

x = l x = l cosα ; y = l y = l cosβ ,

функція в той же час набуває повного приросту

F (x0 + x, y0 + y)− F (x0 , y0 ) =

= F (x0 + l cosα , y0 + l cosβ )− F (x0 , y0 ) = l z .

93

Означення 2

Похідною z¢l за напрямком l функції двох змінних z = F (x, y) називається границя відношення повного приросту функції в напрямі l до величини переміщення l за умови, що останнє прямує до 0. Або

zl¢ = lim	l	z
		.
l→0	Dl

Похідна z¢l характеризує швидкість зміни значення функції за напрямком l.

Оскільки повний приріст функції z = F (x, y) в граничному

значенні дорівнює першому диференціалу цієї функції, то можна записати:

′	′	′	′	′	cos β .	(4.5)
zl	= zx dx + z y dy = zx			cosα + z y

Враховуючи		координати	напрямляючого		вектора
e = (cosα ,cosβ ),	z¢	можна подати як скалярний добуток двох
	l
векторів: вектора	e = (cosα ,cosβ )		′	′
			та вектора (z x	, z y ). Останній

вектор, згідно з означенням, є градієнтом функції z = F (x, y). Отже, похідна функції z = F (x, y) за напрямком є скаляр-

ним добутком напрямляючого вектора і градієнта цієї функ- ції

r	r
zl′ = (e,Ñz) або	zl′ = (e, grad z).	(4.6)

Як відомо з векторної алгебри скалярний добуток двох векторів набуває найбільшого значення, коли напрями векторів збі-

^

гаються, тобто cos ab = 0 . Отже, напрям найшвидшого росту функції в дані точці збігається з його градієнтом у цій точці.

Висновок Градієнт функції в даній точці М0 є характеристикою

напряму найскорішого зростання функції у цій точці.

94

Якщо відомі градієнти функції z = F (x, y) в точках ОВФ, то

можна, хоча б приблизно будувати лінії рівня цієї функції. Має місце теорема.

Теорема

Нехай задана диференційована функція z = F (x, y), і нехай значення grad z в околі точки М0 відрізняється від 0.

Тоді градієнт є нормаллю до лінії рівня функції z = F (x, y)

у цій точці. Іншими словами, grad z є перпендикуляром до лінії рівня в точці М0 і вказує напрям найскорішого зростання функції.

Приклад

Знайти напрям і величину найбільшого зростання функції U (x, y, z) в точці М0(1, 0, 3)

U = 7x2 y - 7 y 2 z + 14 x3 . 2 3

Розв’язання
1.	Знайдемо grad U (x, y, z). Для цього обчислимо спочатку
частинні похідні
U ¢	=14xy +	14	3x2	=14xy +14x2 ; U ¢	= 7x2 + 7 yz; U ¢ =	7	y2 .
x	3			y	z	2

Отже, загальна формула градієнта – grad U = (14(xy + x2 ),7 (x2 + yz),(7/2y2 )).

У точці М(1, 0, 3) він набуде значення

grad U (1,0,3) = (14(1 ×0 + 1),7 (1 + 0 × 3),(7/2 ×0)) = (14,7,0).

Отже,

напрямок

найбільшого

зростання

функції

U = 7x2 y -

7

y 2 z +

14

x3

задає вектор grad U (1,0,3) = (14,7,0).

2

3

Величиною

найбільшої

швидкості

зростання

буде

grad U (1,0,3)

, тобто величина

M (1,0 ,3) = 142 + 72

= 7

= 7

» 7 × 2,24 »15,65 .

grad U(x, y, z)

4 +1

5

95

4.3 ЧАСТИННІ ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ. ДИФЕРЕНЦІАЛ ДРУГОГО ПОРЯДКУ ФУНКЦІЇ ДВОХ ЗМІННИХ

Нехай у деякій області D(x, y) задана диференційована функція z = F (x, y). Отже, в цій області існують частинні похід-

ні функції z′	та z′	. Якщо ці частинні похідні є неперервними
x	y
функціями від аргументів x та y : z′			= F ′(x, y);	z′	= F ′(x, y) ,
		x	x	y	y

то, очевидно, їх теж можна продиференціювати за аргументами x та y .

Означення

Частинними похідними другого порядку функції z = F (x, y) називаються частинні похідні від її частинних похід-

них першого порядку.

Оскільки кожну з похідних можна диференціювати за обома змінними, то отримаємо чотири похідні 2-го порядку. Отже, функція двох змінних z = F (x, y) має дві частинні похідні пер-

шого порядку z′	= F ′(x, y);	z′	= F ′(x, y)	і чотири (22) похідні
x	x	y	y
другого порядку:
(F ′(x, y))′x ;(F ′(x, y))′y ; (F ′(x, y))′x ; (F				′(x, y))′y . Позначають-
x	x	y	y

ся похідні другого порядку так

I. (Fx′)′x :

II. (Fx′)′y :

III. (Fy′)′x :

IV . (Fy′)′y :

	∂2 F (x, y)	=	∂2 z	= z′′ .
	∂x2		∂x2			xx
	∂2 F (x, y) =		∂2 z			= z′′ .
			∂x∂y
	∂x∂y					xy
	∂2 F (x, y) =		∂2 z		= z′′ .
	∂y∂x		∂y∂x			yx
	∂2 F (x, y)	=	∂2 z	= z′′ .
	∂y2		∂y2			yy

96

Похідні І та ІV називаються частинними похідними 2-го по- рядку функції z = F (x, y) за однією змінною. Похідні ІІ та ІІІ

називаються мішаними частинними похідними 2-го порядку.

Якщо мішані похідні z′′	та z′′	неперервні в деякій точці
xy	yx

M 0 (x, y), то вони рівні між собою. Тобто в їх точках неперервності виконується рівність:

	∂ 2 z	=	∂ 2 z	, або z′′		= z′′ .		(4.7)
	∂x∂y		∂y∂x		xy	yx
Повний диференціал другого порядку функції має вигляд
d 2 F (x, y) =			∂2 F (x, y) dx2		+ 2 ∂2 F (x, y) dxdy +		∂2 F (x, y) dy2	,
			∂x2			∂x∂y	∂y2	(4.8)
або			+ 2z′′ dxdy + z′′ dy2.
d 2 z = z′′ dx2
	xx			xy		yy

Все викладене про частинні похідні другого порядку функції двох змінних залишається вірним для частинних похідних цієї функції більш вищих порядків. Кількість частинних похідних з ростом порядку подвоюється. Отже, частинних похідних тре- тього порядку є 8 видів. З них 2 частинні похідні 3-го порядку від однієї змінної, а 6 – мішані. Похідних 4-го порядку – 12 і т.п.

Все викладене про частинні похідні другого порядку функції двох змінних залишається вірним для частинних похідних фу-

нкції більшої кількості змінних. Кількість частинних похідних функції багатьох змінних з ростом порядку збільшується за геометричною прогресією, основою якої є кількість цих змін- них.

4.4 ЕКСТРЕМУМ ФУНКЦІЇ ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ

Розглянемо задачу існування екстремума функцій декількох змінних на прикладі функції двох змінних.

Візьмемо точку M0 (x0 , y0 ) D функції z = F (x, y). Виберемо довільний окіл цієї точки радіусом r.

97

Означення

Точка M0 (x0 , y0 ) називається точкою мінімуму (максиму-

му) функції z = F (x, y), якщо існує такій окіл δ точки M0 (x0 , y0 ), що для будь якої точки M (x, y) із цього околу виконується нерівність: F (x0 , y0 ) £ F (x, y) (F (x0 , y0 ) ³ F (x, y)),

або
$d(r ): "(M (x, y):		M0 - M		£ r )
F (M 0 ) £ F (M ) (F (M 0 ) ³ F (M )) .					(4.9)
Загальна назва мінімуму і максимуму функції в точці –
локальні екстремуми функції в точці. Точка					M0 (x0 , y0 ) міні-

муму і максимуму функції називається точкою екстремуму. Сформулюємо необхідні умови існування екстремуму функ-

ції двох змінних у точці M0 (x0 , y0 ).

Теорема (необхідні умови існування екстремуму)

Якщо точка M0 (x0 , y0 ) є точкою екстремуму функції

z= F (x, y), то всі частинні похідні першого порядку цієї функції

вданій точці дорівнюють 0

	z¢						=	¶F (x0 , y0 )		= 0;
					(x0 , y	0 )
	x							¶x		(4.10)
								¶F (x0 , y0 )
z¢					(x0 , y	0 )	=			= 0.
	y							¶y

Ця теорема є двовимірним аналогом теореми Ферма. ЇЇ зміст полягає у тому, що якщо зафіксувати одну із незалежних змінних, то функція z = F (x, y) буде поводити себе, як функція одні-

єї змінної (тієї, що не зафіксована) і для неї буде виконуватися необхідна умова існування екстремуму однієї змінної.

Точки, в яких виконані умови (4.10), називаються критич-

ними, або стаціонарними точками.

98

Враховуючи, що частинні похідні функції двох змінних є компонентами вектора grad F ( x, y ) , необхідні умови існування

екстремума, можна перефразувати так.

Якщо в точці M0 (x0 , y0 ) функція z = F (x, y) має екстре-

мум, то grad F ( x0 , y0 ) = Q . ( Q = (0,0) - нульвий вектор).

Але виконання умов (4.10) не гарантує існування екстремуму в точці M0 (x0 , y0 ). Оскільки функція z = F (x, y) має два не-

залежні аргументи і при фіксованому одному з них розглядається як функція одного незалежного аргумента, ймовірні випадки, коли по одній змінній точка M0 (x0 , y0 ) є точкою мі-

німуму, а по іншій – точкою максимуму. До того ж ця точка може бути і просто точкою перегину функції однієї змінної. В усіх цих випадках в околі точки M0 (x0 , y0 ) умови (4.10) вико-

нуються, а умови (4.9) – не виконуються і точка M0 (x0 , y0 ) не є

точкою екстремуму. Отже, для коректного аналізу критичних точок на наявність у них екстремуму функції необхідно додати

достатні умови існування екстремуму.

Теорема (достатні умови існування екстремуму)

Нехай функція z = F (x, y) така:

– визначена і двічі диференційована в деякому околі d точки

M0 (x0 , y0 );

–

′

′

;

має в цій точці частинні похідні рівними 0: z x =

0 і z y = 0

–

має в цій точці частинні похідні другого порядку рівними

z¢¢

(x0 , y0 )

= A;

z¢¢

(x0 , y0 )

= z¢¢

(x0 , y0 )

= B;

z¢¢

(x0 , y0 )

= C .

xx

xy

yx

yy

Складемо з других похідних визначник

D =

A B

= A ×C - B 2 .

B

C

Тоді

> 0 , то екстремум існує. Тип екстремуму зале-

якщо

жить від знаку A : A > 0 –

точка M0 (x0 , y0 ) є точкою мінімуму,

99

і zmin = F (x0 , y0 ); A < 0 – точка M0 (x0 , y0 ) є точкою максиму-

му, і zmax = F (x0 , y0 );

якщо < 0 , то в точці M0 (x0 , y0 ) екстремум не існує;

якщо = 0 , то для висновків для наявності екстремуму

інформації недостатньо.

Схема дослідження функції двох змінних на наявність екстремумів

1° Знайти частинні похідні функції z = F (x, y) – z′	та z′	;
x	y

2° Використовуючи необхідні умови існування екстремуму, знайти критичні точки функції z = F (x, y), розв’язавши систему рівнянь

	z′x	= 0
	z′	= 0;
	y
	3° Знайти частинні похідні другого порядку z′′						, z′′	= z′′	та
						xx	xy	yx
z′′	. z′′ ;
yy	yy
	4° Для кожної критичної точки M (xk , yk ):
	а) обчислити значення z′′ , z′′				= z′′	та z′′ в цій точці, отри-
			xx	xy	yx	yy
мавши тим самим значення А, В, С;
	б) обчислити		= AC − B 2 . Зробити висновок про наявність і
тип екстремуму в точці M0 (x0 , y0 );
	в) якщо екстремум у точці			M k (xk , yk ) є, обчислити його
значення zекстр = F (xk , yk ).
Приклад
	Дослідити		на		екстремум		функцію

z = x2 − 4xy + 5 y 2 + 2x − 4 y + 50 .

Розв’язання

1° Згідно зі схемою знайдемо частинні похідні даної функції