матан 3 курс 2013 / лекции / Oglobina

30

§3 ПОХІДНА

3.1ЗАДАЧІ, ЩО ПРИВОДЯТЬ ДО ПОХІДНОЇ

3.1.1ЗАДАЧА ПРО ДОТИЧНУ

Нехай на площині в декартовій системі координат Oxy дана крива – графік неперервної функції y = f (x). Необхідно знайти рівняння дотичної до цієї кривої у точці M 0 (x0 , y0 ) (рис. 3.1).

Відомо, що y0 = f (x0 ).
Розв’язання.
Дамо аргументу x0	приріст	x . Розглянемо точку M1		з ко-
ординатами x1 = x0 +	x та y1	= f (x0 +	x). Проведемо січну
M 0 M1 .
	y
	y1 + y		M1
		M 0	y = f (x)
	y0
		k	x
α
		x0	x1 + x
				x

Рисунок 3.1

Означення

Дотичною до кривої y = f (x) в точці M 0 (x0 , y0 ) називають граничне положення січної M 0 M1 за умови, що точка M1 прямує до точки M 0 (тобто x → 0 ).

31

Рівняння M 0 M1 має вигляд

	x − x0	=	y − y0		, або y =		y1 − y0	(x − x0 )+ y0 =	y (x − x0 )+ y0 .
			y1 − y0
	x1 − x0						x1 − x0		x
Відношення			y = k		–	є кутовим коефіцієнтом нахилу січної
			x
M 0 M1 до осі Ох, k = tg(α ) –							тангенс кута нахилу січної M 0 M1
до осі Ox . Якщо точка						M1	прямує до точки M 0		( x → 0 ), то
гранична величина					lim	y = k буде кутовим коефіцієнтом, або
					x→x0	x

тангенсом кута нахилу прямої, дотичної до графіку функції y = f (x) в точці M 0 .

Отже рівнянням дотичної буде

y = f (x0 ) + lim	y (x − x0 ).
x→0	x

3.1.2 ЗАДАЧА ПРО ШВИДКІСТЬ РУХУ МАТЕРІАЛЬНОЇ ТОЧКИ

Нехай матеріальна точка рухається відповідно до якогось

закону S = S(t ) , де S –			шлях, який пройшла точка;			t –	час, за
який цей шлях було пройдено.
Необхідно знайти швидкість точки в момент t0 .
До моменту t0		шлях, що був пройдений, дорівнює S (t0 ) = S0 .
А через	деякий	час,	що	дорівнює	t = t0 + t	він	стане
S = S (t0 +	t ) , зміниться на			S = S (t0 +	t )− S (t0 ). Отже, за про-

міжок часу t точка буде рухатися з середньою швидкістю v = s t .

Якщо проміжок часу t зменшувати до 0, то можна отримати граничне значення відношення, або миттєву швидкість ма-

теріальної точки v = lim s t .

t →0

32

3.1.3 ЗАДАЧА ПРО МАРГІНАЛЬНІ ВАРТІСТЬ, ДОХОД, ПРИБУТОК

Маргінальними витратами (або маргінальною вартістю продукції) називають гранично можливі витрати на виготовлення продукції в умовах хоча б постійного її відтворення. Аналогічно визначаються маргінальний доход і прибуток. Виробництво продукції та наведені економічні величини зв’язані між собою відповідними законами:

V = V (x) –	залежність витрат від виробництва x од. продукції;
D = D(x) –	залежність доходу від виробництва x од. продукції;
P = P(x) –	залежність прибутку від виробництва x од. проду-

кції.

Якщо підприємство підвищить випуск продукції на x од., то ці функції отримають приріст:

V (x) = V (x + x)− V (x); D(x) = D(x + x)− D(x); P(x) = P(x + x)− P(x).

Відношення цих величин до зміни випуску продукції характеризує приріст відповідних функцій на одиницю приросту продукції. Якщо приріст продукції прямує до 0, то, якщо існує граничне значення відношення, воно і буде маргінальною вели-

чиною. Отже,

маргінальна вартість(або витрати) – lim	V (x) грош. од.,
x→0	x

маргінальний доход - lim

x→0

маргінальний прибуток –

D(x) грош. од., x

lim P(x) грош. од.

x→0 x

Отже, в даному розділі був розглянутий ряд задач на динаміку процесів, які звелися до задачі знаходження границі відношення

lim f (x0 + x) − f (x0 ) x .

x →0

y = f (x)

33

3.2 ПОХІДНА, РІВНЯННЯ ДОТИЧНОЇ, ДИФЕРЕНЦІАЛ ФУНКЦІЇ

Нехай функція y = f (x) визначена та неперервна на замкненому інтервалі [a, b]. Візьмемо довільну точку x0 [a, b]

і	надамо	аргументу	довільний	приріст	Dx ¹ 0 такий, що
x0	+ x не виходить за ОВФ f(x).			Функція	y = f (x) отримає
приріст:		y = f (x0 +	x) − f (x0 ).

Означення 1

Похідною функції за аргументом x у точці x0

називається границя відношення приросту функції f (x) до

приросту аргументу x за умови, що приріст аргументу прямує до 0

lim	y = lim	f (x0 +	x)− f (x0 )	,.	(3.1)
x →0	x x→0		x
якщо ця границя існує.					f (x) називається
Якщо ця границя скінчена, то функція

диференційованою за змінною (аргументом) х у точці x0 . Якщо функція диференційована у кожній точці інтервалу

[a, b], то вона називається диференційованою за змінною х на замкненому інтервалі [a, b].

Якщо вищевизначена границя в точці x0 дорівнює ∞ (або -

∞), то за умови, що функція в цій точці неперервна, будемо говорити, що функція f (x) має в точці x0 нескінченну похідну.

Похідна позначається символами

y′, f ′(x0 ),	dy	,	df (x0 )	.
	dx		dx

Інколи, якщо необхідно підкреслити за яким аргументом відбувається диференціювання, похідну позначають виразом з індексом. Наприклад, диференціювання за аргументом x під-

креслюється так y′ .

x

34

Знаходження похідної називається диференціюванням функції за даним аргументом.

Наведені вище задачі зводяться до знаходження похідної від відповідних функцій за змінною х.

Геометричний зміст похідної

Похідна y′ дорівнює тангенсу кута нахилу до осі Ох пря-

мої, що є дотичною до кривої y = f (x) у даній точці x0 .

Звідси рівняння дотичної буде

y = f (x0 ) + y′(x0 )(x − x0 ).						(3.2)
Механічний зміст - миттєва швидкість матеріальної точки,
що рухається за законом s = s(t ) у момент часу t0
v = s′( t0 ) = lim			s(t ) .
		t →0	t
Економічний зміст –					маргінальні значення вартості, доходу
або прибутку.					V ′(x0) грош. од.
Маргінальна вартість –
Маргінальний доход - D′(x0 ) грош. од.
Маргінальний прибуток –						P′(x0) грош. од.
Диференціал функції
Нехай функція			y = f (x)			диференційована в інтервалі (a,b).
Згідно з означенням похідної цієї функції маємо
lim	f (x0 +	x) − f (x0 )		= f ′(x).
x→0		x

Змінна величина відрізняється від своєї границі на нескін-

ченно малу величину α(x) ( lim α(x) = 0 )

x→0

f ( x0 + x ) − f ( x0 ) = f ′(x)+ α(x) x

f ( x0 + x ) − f ( x0 ) = f ′(x) x + α(x) x .

		35
Функція	y = f (x) неперервна,		отже,	за умови, що x → 0
величини	f (x),	f ′(x) x та α(x)	x –	нескінченно малі. Але
величина α(x) x		має більший порядок малості ніж дві перші,

оскільки є добутком двох нескінченно малих величин. Отже,

складова α(x) x	у формулі приросту функції несуттєва. Вели-
чина f ′(x) x –	є головною частиною приросту функції. Вона
лінійна відносно	x .

Означення 2

Головну лінійну частину приросту функції називають дифе-

	ренціалом функції			y = f (x) та позначають dy або df (x) .
	x за умови x → 0 позначають dx .
	Таким чином,
	df (x) = f ′(x)dx .			(3.3)
	Звідси, f ′(x) =	df	–	похідна дорівнює відношенню диферен-
		dx

ціала функції до диференціала незалежної змінної.

На практиці часто застосовують формулу диференціала функції для наближеного обчислення значення функції для малих змін аргументу

f (x) = f (x0 ) + f ′(x0 ) x, x → 0 .

(3.4)

Теорема (про зв’язок неперервності з диференціюванням функції)

Якщо функція y = f (x) диференційована в деякій точці x0 , то вона в цій точці неперервна (але не навпаки).

Наслідок

У точках розриву функція y = f (x) не має похідних, отже, в

цих точках вона не диференційована.

36

3.3 ОСНОВНІ ПРАВИЛА ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ

Якщо c - довільне стале число, u = u(x), v = v(x) – деякі

диференційовані функції від змінної х, то справедливі такі правила диференціювання.

1)

Похідна сталої дорівнює 0

(c)′ = 0 .

(3.5)

2)

Сталу

можна

виносити

за

знак похідної.

Якщо

u = u(x),

c = const

(cu)′ = cu′ .

(3.6)

3) Похідна алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній

сумі похідних цих функцій

(u(x)± v(x))′ = u¢(x)± v¢(x) .

(3.7)

4)

Похідна добутку двох функцій

(u(x)×v(x))′

= u¢(x)×v(x)+ u(x)×v¢(x).

(3.8)

Узагальнення: похідна добутку n функцій. Якщо f1 = f1 (x),

f2 = f2 (x), ...,

fn = fn (x), то

( f (x)

× f

2

(x)× ...× f

n

(x))′ = f ¢(x)× f

2

(x)× ...× f

n

(x)+

1

1

+ f (x)× f

′(x)× ...× f

n

(x)+ ... + f

(x)× f

2

(x)× ...× f

′(x).

(3.9)

1

2

1

n

5)

Похідна частки двох функцій

u(x)

′

u¢(x)v(x) - u(x)v¢(x)

=

.

(3.10)

2

v

(x)

v(x)

6)

Похідна складеної функції.

Якщо y = f (u),

u = ϕ(x), тобто y = f (ϕ(x)) – складена фу-

нкція, або суперпозиція, складена з диференційованих функцій ϕ і f, то

′	′	′	, або
yx	= yu	×ux

						37
dy	=	dy	×	du	.	(3.11)
dx du dx

7) Зв’язок похідної функції y = f (x) за змінною х та похідної оберненої функції x = g(y) за змінною у.

Якщо для функції y = f (x) існує обернена диференційована

функція x = g(y), причому			dg	= x¢	¹ 0 , то
			dy	y
y¢ =	1	.			(3.12)
x	x¢y

3.4 ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ ОСНОВНИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

На основі визначення похідної і правил диференціювання можна скласти таблицю похідних основних елементарних функ-

	цій. Нехай u = u(x)
	1.	(un (x))′ = n × un −1(x)× u¢(x);
	2.	(au (x ) )′ = au (x ) ×ln(a)×u¢(x), a Î(0;1)U (1;+¥);
	3.	(eu (x ) )′ = eu (x ) ×u¢(x);
	4.	(loga u(x))¢ =				u′			,	a Î(0;1)U (1;+¥);
					u ln a
	5.	(ln u(x))¢ =	u′(x)				;
				u
	6.	(sin u(x))′ = cosu(x)× u¢(x);
	7.	(cosu(x))′ = -sin u(x)×u¢(x) ;
	8.	(tg u(x))¢ =		u′(x)					;
				cos2 (u)
	9.	(ctg u(x))¢ = -				u′(x)				;
						sin 2 (u)

		38
10. (arcsin u(x))′ =		u′(x) ;
		1 − u2
11. (arccos u(x))′ = − u′(x) ;
		1− u 2
12. (arctg u(x))′ =		u′(x)
		1+ u 2 ;
		u′(x)
13. (arcctg u(x))′ = − 1+ u 2 .
3.5	ПРИКЛАДИ ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ ФУНКЦІЙ
Приклад 1	що функція y = x
Довести,			не	диференційована		в	точці
x = 0 .
Доведення
Розглянемо графік функції y = x .
		y
			y < 0
				y=|x|
		x > 0 0		x < 0	x
		Рисунок 3.2

Похідна y = x у точці x = 0 за означенням дорівнює

y′ = lim		x +	x		−		x			.

x→0 x

39

Ця границя існує, якщо існують рівні однобічні границі. Пе-

ревіримо. Виходячи із знаку

x в разі, коли наближаємося до

точки х=0 ліворуч і праворуч, можемо записати

lim

0 + Dx

-

0

= 1;

lim

0 + Dx

-

0

= -1,

x→0−0

Dx

x→0+0

Dx

отже, однобічні границі нерівні і можна зробити висновок, що в

точці x = 0 границя lim					y	не існує, відповідно не існує і похі-
				x→0	Dx
дна функції y =		x		.

Що і потрібно було довести.

Відмітимо, що сама функція y = x у точці x = 0 існує і не-

перервна. Отже, даний приклад іллюструє, що неперервність

функції у деякій точці не є запорукою існування в цій точці похідної функції.

Приклад 2

Знайти похідну таких функцій

				3	5
y = x2 , y = 5x, y =			x, y = 5(x2 + 3x +1)		-			.
						3	(3x + 5)
Розв’язання
1.	Функція y = x2 –		степенева функція з показником степені
n = 2 .	За таблицею			похідних (п.1)		(xn )′ = nxn−1 . Отже,
y¢ = (x2 )′ = 2x2−1 = 2x .
2.	Функція y = 5x . Цю функцію можна розглядати як степе-

неву із показником степені n = 1 та з постійним коефіцієнтом 5 перед функцією. Отже, за властивістю 2, сталу 5 можна винести за знак диференціювання, а від функції у = х взяти похідну як табличну, п.1.

y¢ = 5(x1 )′ = 5 ×1× x1−1 = 5 × x0 = 5 ×1 = 5 .