матан 3 курс 2013 / лекции / Oglobina

20

Нехай Ω(x) та Σ(x) – нескінченно великі величини при x ® x0 . Якщо існує границя їх відношення

lim Ω(x) = A ,

x→x0 S(x)

то розподілення нескінченно великих Ω(x) і Σ(x) буде таким:

1. А є скінченою величиною, A ¹ 0 – Ω(x) і Σ(x) – нескін-

ченно великі величини одного порядку для x ® x0 . Якщо

A = 1 , то Ω(x) і Σ(x) є еквівалентними нескінченно малими величинами для x ® x0 . Позначається – Ω(x) ~ S(x) .

2. A = 0 , тоді функція Ω(x) називається нескінченно великою величиною нижчого порядку відносно Σ(x) для

x® x0 .

3.A = ¥ , тоді функція Ω(x) є нескінченно великою вели-

чиною вищого порядку відносно Σ(x) для x ® x0 .

2.1.6 ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ ПРО ГРАНИЦІ

Для знаходження границь на практиці користуються такими теоремами.

Теорема 1

Якщо існують границі lim f (x) = A , lim g(x) = B , то
		x→x0	x→x0
1.	lim( f (x)± g(x)) = lim f (x)± lim g(x) = A ± B .			(2.13)
	x→x0	x→x0	x→x0
2.	lim	(c × f (x)) = c × lim f (x) = c × A, c Î R .		(2.14)
	x→x0	x→x0
3.	lim	( f (x)× g(x)) = lim f (x)× lim g(x) = A × B .		(2.15)
	x→x0	x→x0	x→x0

4. Якщо існує скінчена границя lim g(x) = B ¹ 0 , то

x→x0

									21
	f (x)			lim f (x)			A
			=	x→x0		=
lim								.	(2.16)
				lim g(x)
x→x0 g(x)							B
				x→x0

Зауваження

У математичній практиці дуже часто виникає необхідність визначення границі частки нескінченно малих або нескінченно

		0		¥
великих величин типу				,	¥	.	Такі частки носять назву не-
		0

визначеності. До невизначеностей під знаком границі відносяться також границі виду (1∞ ), (0 × ¥) . Знаходження границь з

невизначеностями називається “ розкриттям невизначенос- тей” . Для обчислення таких границь застосовуються спеціальні прийоми, деякі з них будуть розглядатися на практичних заняттях та під час вивчення похідної функції однієї змінної.

Теорема 2 (про граничний перехід)

1. Границю можна вносити під знак степені

α				α			aÎ R - const .	(2.17)
lim f (x) = lim			f (x)		,
x→x0	x→x0
Зокрема, lim p		= p
	f(x)			lim		f(x) .
x→ x0				x → x0
2. Границю можна підносити до показника степені
	lim f ( x)				Î R -const, lim f (x) = A .			(2.18)
lim b f ( x) = b x→ x0			, b
x→x0							x→x0

3. Границю можна вносити під знак логарифма

lim(log	c	f (x)) = log	c
			lim	f (x) , c Î R -const,
x→x0			x→x0

4. Узагальнений граничний перехід

lim f (x) = A . (2.19)

x→x0

g (x )
lim( f (x))	= lim
x→x0	x→x0

lim g (x )

x→ x

f (x) 0 ,

lim f (x) = A,	lim g(x) = B .
x→x0	x→x0

Для обчислення границь дуже важливим є знання таких відомих границь функцій.

22

Теорема 3 (такі границі вважаються загальновідомими)

1.

lim n

n

= 1 , lim n

a

= 1 , a = const,

a > 0 .

n→∞

n→∞

2.

Перша чудова границя

lim

sin x

= 1.

(2.20)

x→0 x

3.

Друга чудова границя

1 x

lim 1+

= e , або

(2.21)

x→∞

x

1

lim(1+ α)

= e , де e ≈ 2.7.

α

(2.22)

α→0

Використовуються на практиці й наслідки формули (2.22):

lim		logc (1 + α)						= logc	e ,
			α
α →0
lim	aα −1				= ln a ,
		α
α →0
lim	(1 − α)μ − 1						= μ ,
			α
α →0

зокрема:

lim ln(1+ α) = 1,

α→0 α

lim eα −1 = 1 .

α →0 α

До обчислення другої чудової границі зводяться багато задач, пов’язаних з неперервним ростом деякої величини. До таких задач, наприклад, відносятьсяч: ріст внеску за законом складних відсотків, ріст населення країни, розпад радіоактивної речовини, розмноження бактерій і т.п.

23

Розглянемо приклад Я. І. Перельмана, що дає інтерпретацію числа e у задачі про складні відсотки. Число e є границею

		1	n			1	n
послідовності 1	+			за умови, що n → ∞ : lim 1	+			= e .
		n		n→∞		n

В ощадбанках процентні гроші приєднуються до основного капіталу щорічно. Якщо приєднання відбувається частіше, то капітал росте швидше, тому що в утворенні відсотків бере участь більша сума. Візьмемо чисто теоретичний, досить спрощений приклад.

Нехай у банк покладено 100 грош. од. з розрахунку нарощування капіталу на 100 % за рік. Якщо процентні гроші будуть приєднані до основного капіталу лише після закінчення року, то на цей термін 100 грош. од. перетворяться в 200 грош. од. Подивимося тепер, у що перетворяться 100 грош. од., якщо процентні гроші приєднувати до основного капіталу кожні півроку. Після закінчення півріччя 100 грош. од. виростуть в 100×1,5=150 грош. од., а ще через півроку – в 150×1,5 = 225 (грош. од.). Якщо приєднання робити кожні 1/3 року, то після закінчення року 100 грош. од. перетворяться в 100×(1 + 1/3)3 »237 грош. од. Будемо зменшувати строки приєднання процентних грошей до 0,1 року, до 0,01 року, до 0,001 року й т. ін. Тоді з 100 грош. од. через рік вийде:

100×(1 +1/10)10 » 259 (грош. од.), 100×(1+1/100)100 » 270 (грош. од.), 100×(1+1/1000)1000 » 271 (грош. од.).

При нескінченному скороченні строків приєднання відсотків нарощений капітал не росте нескінченно, а наближається до деякої границі, що дорівнює приблизно 271. Більш ніж у 2,71 разів капітал, покладений під 100% річних, збільшитися не може, навіть якби відсотки приєднувалися до капіталу щосекунди, тому що

		1	n
lim 1	+			= e .
n→∞		n

24

2.2 НЕПЕРЕРВНІСТЬ ФУНКЦІЇ. ТОЧКИ РОЗРИВУ

Означення 1
Функція f (x) називається неперервною в точці			x0 , якщо
вона відповідає трьом умовам:
1) функція	f (x)	визначена в точці x0 (тобто, в цій точці іс-
нує f (x0 ));	f (x)	має скінчену границю при x → x0 ;
2) функція
3) lim f (x) = f (x0 ) .			(2.23)
x→x0
Умову (2.23) можна подати у вигляді
lim f (x)= f( lim x) = f (x0 ),
x→ x0	x → x0

тобто можливий граничний перехід під знаком функції, якщо вона неперервна в даній точці.

Означення 2

Функція f (x) називається неперервною праворуч у точці x0 , якщо

lim f (x) = f (x0 ) ,

x→x0+0

і неперервною ліворуч у точці x0 , якщо

lim f (x) = f (x0 ) .

x→x0−0

Отже, функція f (x) неперервна в точці x0 , якщо вона неперервна в цій точці одночасно праворуч і ліворуч. Або функція f (x) неперервна в точці x0 , якщо існує скінчене значення f (x0 ) і виконується подвійна рівність

lim	f (x) = lim f (x) = f (x0 ) .	(2.24)
x→x0−0	x→x0+ 0
Якщо хоча б одна з умов неперервності функції порушена,
то говорять, що в точці x0 функція		f (x) має розрив.

25

Класифікація точок розриву функції

1.Якщо однобічні границі функції в точці x0 існують, скінчені, але нерівні, тобто

lim f (x) = A;	lim f (x) = B; A ¹ B ,
x→x0−0	x→x0+0

то точка x0 називається точкою розриву першого роду, в

цій точці функція має стрибок.

y

B

A

0

y=f (x)

стрибок

x0

x

lim f (x) = f (x0 ) = A

x→ x0 −

lim f (x) = B; A ¹ B

x→ x0 +

Рисунок 2.4 – Стрибок

2. Якщо хоча б одна з однобічних границь функції в точці x0 нескінчена, тобто

lim f (x) = ±¥ або	lim f (x) = ±¥ ,
x→x0−0	x→x0+0

то точка x0 називається точкою розриву другого роду, або то- чкою неусувного розриву.

26

y=f (x)

y

A

0 x0 x

lim f (x) = +¥ ;	lim f (x) = f (x0 ) = A
x→ x0 −	x→ x0 +

Рисунок 2.5 – Неусувний розрив

3. Якщо однобічні границі функції в точці x0 існують, скінчені, рівні між собою, але не дорівнюють значенню f (x0 ), тобто

lim	f (x) = lim f (x) ¹ f (x0 ) ,
x→x0−0	x→x0+ 0

то точка x0 називається точкою усувного розриву.

y=f (x)

y

A

0	x0	x
lim	f (x) = lim	f (x) = A
x→ x0 −	x→ x0 +

f (x0 ) – не існує Рисунок 2.6 – Усувний розрив

27

Наприклад, функція y = ctgx при x → +0 має границю, рівну +∞, тобто, у точці x = 0 вона має розрив другого роду.

y 4 3 2 1

-1	0	1		2		3	4	x
			-1

y = E(x) – ціла частина числа Рисунок 2.7

Функція y = E(x) (ціла частина від x ) у точках із цілими абсцисами має розрив першого роду, або стрибок.

y

y=ctg x

−π		−π 0		π		π		x
		2		2

для x = πk, k z y = ctgx не існує Рисунок 2.8

Означення 3

Функція, неперервна в кожній точці замкненого інтерва- лу [a,b], називається неперервною на інтервалі [a,b]. Непере-

рвна функція зображується суцільною кривою.

28

Основні властивості неперервних функцій

1.Алгебраїчна сума скінченого числа неперервних функцій

єнеперервною функцією.

2.Добуток скінченого числа неперервних функцій є функцією неперервною.

3.Відношення неперервних функцій є неперервною функцією за умови, що знаменник не дорівнює 0.

4.Суперпозиція (комбінація) неперервних функцій є функцією неперервною.

5.Перша теорема Вейєрштрасса

Якщо функція f (x) неперервна на інтервалі [a,b], то вона на цьому інтервалі обмежена, тобто x [ a ,b ] M > 0 :

f (x) ≤ M .

6. Друга теорема Вейєрштрасса

Якщо функція f (x) неперервна на інтервалі [a,b], то вона досягає своїх меж, тобто існують такі точки x1 та x2 з інтервалу

[a,b], що

f (x1 ) = sup f (x) –

найбільше значення

f (x)

на інтервалі [a,b],

[a,b]

f (x2 ) = inf

f (x) –

найменше значення

f (x)

на інтервалі [a,b].

[a,b]

y

y=f

(

)

M

= sup f (x)

x

[a,b]

M

m = inf

f (x)

m

[a,b]

0

a

b

x

Рисунок 2.9 – Друга теорема Вейєрштрасса

29

7. Перша теорема Больцано-Коши

Якщо функція f (x) неперервна на інтервалі [a,b] і на кінцях інтервалу вона приймає значення різних знаків, то існує точка c (a,b), в якій f (c) = 0 .

y
			y=f (x)
f (b)									f (a)× f (b) < 0
						f (c)=0			c Î[a,b]
0 a c							b	x

f (b)

Рисунок 2.10 - Перша теорема Больцано-Коши

8. Друга теорема Больцано-Коші

Якщо функція

f (x)

неперервна на інтервалі [a,b], причому

f (a) = A,

f (b) = B ,

то для будь якого числа С, що міститься

між А і В, знайдеться така точка c [a,b], в якій f (c) = C .

y

y=f (x)

B

A = f (a); B = f (b)

C

C = f (c)

A

A < C < B

a < c < b

0

a

c

b

x

Рисунок 2.11 - Друга теорема Больцано-Коши