Завдання для самостійної роботи

Знайти загальні розв’язки диференціальних рівнянь другого порядку:

1) ; 7);

2) ; 8);

3) ; 9);

4) ; 10);

5) ; 11);

6) ; 12).

7. Лінійні однорідні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами

Лінійним диференціальним рівнянням другого порядку називається рівняння

.

Якщо тає сталі числа, то рівняння називаєтьсялінійним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами.

Якщо , то рівняння називаєтьсяоднорідним,якщонеоднорідним.

Загальний розв’язоклінійного однорідного рівняннямає вигляд:

,

де талінійно-незалежні частинні розв’язки рівняння, тобто, адовільні сталі.

Для знаходження треба розв’язати характеристичне рівняння:

.

Можливі наступні випадки:

корені характери- стичного рівняння	частинні розв’язки	‒ загальний розв’язок
дійсні різні числа,
дійсні однакові числа
комплексно- спряжені числа, уявна одиниця, дійсні числа.

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Складемо характеристичне рівняння:

,

,

де корені характеристичного рівняння дійсні та різні, тобто, загальний розв’язок рівняння має вигляд.

Приклад 2. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має вигляд . Його корені – дійсні, рівні. Тоді загальний розв’язок рівняння має вигляд.

Приклад 3. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Маємо характеристичне рівняння .

,

.

Загальний розв’язок рівняння .

Приклад 4. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння має вигляд:

.

Його корені . Тоді, загальний розв’язок. Для того, щоб знайти частинний розв’язок треба визначитита. Це можна зробити, використовуючи початкові умови, але спочатку треба знайти похіднувід загального розв’язку:. Дістанемо систему рівнянь:

Отже, частинний розв’язок рівняння: .

Приклад 5. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння . Його корені. Тоді загальний розв’язок. Знайдемо похідну:

.

Маємо систему рівнянь

Отже, розв’язок задачі Коші матиме вигляд:

.

Приклад 6. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Характеристичне рівняння .

;.

Загальний розв’язок .

Обчислимо :

.

Використовуючи початкові умови, знайдемо та:

Отже, частинний розв’язок однорідного рівняння буде

.

Завдання для самостійної роботи

Знайти загальні та частинні розв’язки однорідних диференціальних рівнянь другого порядку:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) .