1. Подвійний інтеграл, його властивості. Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах

Нехай обмежена область площиниз кусково-гладкими межами, а функціявизначена і обмежена в області. За допомогою сітки кусково-гладких кривих розбиваємо областьна скінченне число елементарних підобластейз площинами(рис. 1.1). Множину цих елементарних частин областіназвемо розбиттям. Нехайнайбільший з діаметрів елементарних областей. У кожній з елементарних областей вибирається довільна точка.

Рис. 1.1

Число ставиться у відповідність кожному розбиттюі називається інтегральною сумою розбиття.

Якщо існує границя інтегральної суми при, і якщо вона не залежить від способу розбиття областіна елементарні підобластіі від вибору точок, то вона називається подвійним інтегралом від функціїпо областіі позначається через.Таким чином,

, (1.1)

де .

Теорема. Подвійний інтеграл (1.1) існує, якщо в скінченній замкненій області , обмеженій гладким або кусково-гладким контуром, функціяабо неперервна, або обмежена і має розриви на скінченному числі кусково-гладких ліній.

Властивості подвійного інтеграла

1. Сталий множник можна винести за знак подвійного інтеграла:

.

2. Подвійний інтеграл алгебраїчної суми дорівнює відповідній сумі інтегралів від складових:

.

3. Якщо область розкласти на скінчене число частин, тоді подвійний

інтеграл по всій області дорівнює сумі інтегралів по всіх її частинах:

.

4. Якщо в замкненій області функціїінепевні й, задо-

вольняють співвідношення , тоді справедлива нерівність:

.

5. Абсолютна величина інтеграла не перевищує інтеграла від абсолютної

величини підінтегральної функції:

.

6. Теорема про середнє. Якщо інеперервні в скінченній

замкненій області , ізнакостала в, то справедлива формула:

,

де .

Обчислення подвійного інтеграла в декартових координатах

Нехай функція неперервна в прямокутнику. Виразє елементом площі в декартових прямокутних координатах. Подвійний інтеграл від функціїпо областіобчислюється за формулою:

. (1.2)

Якщо поміняти місцями ів (1.2), то буде справедливою рівність:

.

В останній формулі інтегрування ведеться спочатку по при сталому, а потім одержаний результат інтегрується по, тобто послідовно обчислюється два визначених інтеграли.

Нехай функціянеперервна або кусково-неперервна в криволінійній області, деіфункції, які неперервні на відрізку. Візьмемо областьв прямокутник, денайменше значенняв,найбільше значенняв(рис. 1.2).

Рис. 1.2

Визначимо у цьому прямокутнику функцію такими рівностями:

Функція кусково-неперервна в прямокутнику, тому, згідно формулою (1.2), маємо:

.

Звідси отримаємо наступну формулу:

. (1.3)

Якщо область інтегрування (рис.1.3), то, змінюючи у формулі (1.3) рольі, прийдемо до аналогічної формули:

. (1.4)

Рис. 1.3

Якщо область не задовольняє наведеним для (1.3) і (1.4) умовам, а саме, вертикальні й горизонтальні прямі перетинають її границю більше

ніж у двох точках, то у цьому випадку область розбивають на частини, як розглянуто вище, й, підсумовуючи одержаний результат по кожній частині, обчислюємо інтеграл по всій області.