За плоскою областю

I. Крива задана рівнянням, а точкиізадані кордина-

тами :

. (4.4)

II. Крива задається параметричними рівняннями

.

. (4.5)

III. Крива задається рівнянням ,.

. (4.6)

Формула Гріна встановлює зв’язок між подвійним інтегралом по плоскій області й криволінійним інтегралом по контуру цієї області. Формула Гріна має вигляд:

,

де Г – контур області функції неперервні в області, для яких існують неперервні частинні похідніі.

Нехай функції визначені і неперервні в однозв’язній обмеженій замкненій областіплощини. Тоді величина криволінійного інтеграла

не залежить від шляху інтегрування, а лише від початкової й кінцевої точок інтегрування та від функцій і, якщо буде виконуватися рівність:

Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Обчислити криволінійний інтеграл , девідрізок прямої, яка сполучає точкиі.

Розв’язання.

Рівняння прямої, якій задовольняють задані точки, знаходиться за формулою:

,

де задані точки.

Пряма має вигляд:або. Звідси.

За формулою (4.1) матимемо

.

Приклад 2. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду , деколо.

Розв’язання.

Перейдемо до полярних координат: . Рівняння кривоїнабуває вигляду, де. Для обчислення інтеграла застосуємо формулу (4.3), оскільки. Отже

;

.

Приклад 3. Обчислити криволінійний інтеграл першого роду , дедуга циклоїдиміж точкамита.

Розв’язання.

Знайдемо похідні функцій таза параметром:

.

За формулою (4.5) матимемо

.

Приклад 4. Обчислити криволінійний інтеграл , девідрізок прямої від точкидо точки.

Розв’язання.

Запишемо рівняння прямої, що проходить через точки і:

.

Тоді . Скористаємось формулою (4.4):

.

Приклад 5. Обчислити інтеграл вздовж ламаної, деі.

Розв’язання.

Вздовж ламаної на ділянцімаємоі, на ділянці.

Тому, згідно з формулою (4.4), маємо:

.

Приклад 6. Обчислити інтеграл , дечастина гіперболічної спіралівіддо.

Розв’язання.

Розглянемо полярну систему координат: ,. Тоді.

За формулою (4.3) маємо

.

Приклад 7. За допомогою формули Гріна обчислити криволінійний інтеграл , деколо.

Розв’язання.

За умовами задачі ;

. Отже .

За формулою Гріна

.

Область коло з центром в точціі радіусом. Рівняння кола має вигляд:

.

Перейдемо до полярних координат з полюсом у центрі . Рівняння, яке зв’язуєі полярні координатиз полюсом у точці, має вигляд:.

Таким чином,

.

Приклад 8. Чи залежить криволінійний інтеграл від шляху інтегрування ?

Розв’язання.

За умовами задачі: . Знайдемо часткові похідніі:.

Отже, інтеграл залежить від шляху інтегрування.

Завдання для самостійної роботи

I. Обчислити криволінійні інтеграли:

а) девідрізок прямої між точкамиі;

б) , депрямокутник з вершинами;

в) , деколо;

г) деарка циклоїди;

д), деверхня половина еліпсапо ходу стрілки годинника;

е) , делініявід точкидо точки.

II. За допомогою формули Гріна обчислити криволінійний інтеграл

, де коло.

III. Вказати криволінійний інтеграл по координатах, який не залежить від

шляху інтегрування

а) ;

б) ;

в) .