Зразки розв’язування задач

Приклад 1. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Це рівняння є диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними. Для того, щоб відокремити змінні, поділимо обидві частини рівняння на , а потім проінтегруємо його:

,

,

.

Для того, щоб обчислити інтеграл, що знаходиться у правій частині, використаємо заміну змінної в невизначеному інтегралі:

,

Маємо:

, або .

Повертаючись до старої змінної, дістанемо:

, загальний розв’язок рівняння.

Приклад 2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

.

Розв’язання.

Вважаючи, що , маємо:

.

Помножимо обидві частини на , а потім відокремимо змінні. Для цього рівняння розділимо на:

.

Після інтегрування отримаємо:

,

,

загальний розв’язок.

Приклад 3. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Для того, щоб відокремити змінні, треба спочатку винести за дужки співмножники в кожній з частин рівняння, тобто таз лівої і правої частин рівняння відповідно, а потім розділити рівняння наі проінтегрувати

,

,

,

загальний розв’язок.

Підставимо початкові умови в загальний розв’язок та отримаємо частинний розв’язок рівняння

,

частинний розв’язок.

Приклад 4. Знайти частинний розв’язок рівняння

.

Розв’язання.

Для відокремлювання змінних у цьому рівнянні розділимо його на . Маємо:

.

Проінтегруємо обидві частини рівняння та для обчислення інтегралів зробимо відповідні заміни змінних:

,

,

,

, або ,

або .

загальний розв’язок.

Використаємо початкові умови і отримаємо частинний розв’язок рівняння:

Приклад 5. Записати рівняння кривої, яка проходить через точку , кутовий коефіцієнт дотичної до якої у кожній точці дорівнює.

Розв’язання.

Кутовий коефіцієнт дотичної до кривої у кожній точці є. Маємо диференціальне рівняння з відокремлюваними змінними:

.

Вважаємо, що , та відокремлюючи змінні отримаємо:

,

,

,

загальний розв’язок рівняння.

Підставимо координати точки, через яку проходить шукана крива, в отриманий розв’язок:

.

Тоді є рівнянням цієї кривої.

Приклад 6. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Доведемо, що це рівняння є однорідним. Нехай , тоді

,

, тобто рівняння однорідне.

Для того, щоб перетворити його на рівняння з відокремлюваними змінними, зробимо підстановку: . Отримаємо:

, або ,

.

Відокремлюючи змінні, маємо

.

Після інтегрування отримаємо загальний інтеграл даного диференціального рівняння:

,

.

Приклад 7. Знайти загальний розв’язок:

.

Розв’язання.

Маємо:

.

Функції тає однорідними функціями другого виміру:

;

,

Тобто початкове рівняння є однорідним.

Зробимо підстановку , та зведемо це рівняння до рівняння з відокремлюваними змінними:

,

,

, або

.

Відокремимо змінні в останньому рівнянні:

;

;

;

, або

загальний інтеграл даного рівняння;

,

,

,

загальний розв’язок рівняння.

Приклад 8. Розв’язати задачу Коші

.

Розв’язання.

Це рівняння є однорідним (перевірити самостійно), тому після підстановки отримаємо рівняння з відокремлюваними змінними:

,

, або ,

,

,

.

Відокремимо змінні і проінтегруємо обидві частини рівняння:

,

або

, ,

загальний інтеграл.

Використаємо початкові умови:

.

Тоді , або, аборозв’язок задачі Коші.

Приклад 9. Знайти частинний розв’язок рівняння:

при.

Розв’язання.

Маємо:

.

Це однорідне рівняння. Зробимо підстановку та аналогічно попереднім прикладам розв’яжемо отримане рівняння:

,

,

.

Для обчислення інтеграла, що знаходиться у лівій частині, використаємо заміну змінної . Маємо:

.

Тоді, загальний інтеграл рівняння має вигляд . Знайдемо:

.

частинний розв’язок рівняння.

Приклад 10. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Це рівняння є лінійним, і його розв’язок будемо шукати у вигляді . Тоді

Маємо:

,.

Будемо вважати, що вираз в дужках у лівій частині рівняння дорівнює нулю. Тоді отримаємо систему диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними:

Знайдемо, спочатку, розв’язок першого рівняння. Для цього відокремимо змінні та проінтегруємо рівняння:

.

Підставимо знайдений розв’язок в друге рівняння системи:

.

Тоді, шуканий розв’язок лінійного рівняння матиме вигляд:

.

Приклад 11. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Розв’язок цього лінійного рівняння знаходимо у вигляді . Тоді. Після підстановки цих виразів в лінійне рівняння і розв’язування його аналогічно попередньому дістанемо:

,

.

І.

.

ІІ.

.

Для останнього інтеграла використаємо підстановку:

.

Дістанемо: .

Тоді загальний розв’язок лінійного рівняння буде мати вигляд:

.

Приклад 12. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Розділимо рівняння на , та розв’яжемо його аналогічно попередньому:;;

,,

І. .

ІІ. .

Отже, загальний розв’язок.

Приклад 13. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Розділимо обидві частини рівняння на . Дістанемо:

.

Тоді ,

,

.

І.

;

ІІ.

.

Зробимо заміну змінної в інтегралі, що знаходиться праворуч.

.

Для останнього інтеграла використаємо метод інтегрування частинами:

.

Отже, повертаючись до старої змінної, отримаємо:

.

Тоді, загальний розв’язок лінійного рівняння має вигляд:

, або

.

Підставимо в цей вираз початкові умови: .

Отже частинний розв’язок лінійного рівняння.

Приклад 14. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Маємо рівняння Бернуллі, класичний вигляд якого буде:

.

Метод розв’язання – аналогічний до метода розв’язання лінійних рівнянь. Тобто, вважаючи, що ,, дістанемо:

, .

Нехай, , тодіабо. Таким чином, одержимо систему рівнянь з відокремлюваними змінними:

І.

.

ІІ. .

Для останнього інтеграла використаємо заміну змінної . Дістанемо:

.

Загальний розв’язок рівняння Бернуллі матиме вигляд:

, або .

Приклад 15. Розв’язати рівняння:

.

Розв’язання.

Перепишемо це рівняння Бернуллі у класичному вигляді:

.

Загальний розв’язок рівняння Бернуллі буде

.

Після підстановки цих виразів в початкове рівняння маємо:

,

.

І. .

ІІ.

.

Отже, загальний розв’язок рівняння: .

Приклад 16. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Загальний розв’язок рівняння Бернуллі будемо шукати у вигляді: . Тоді

, ,

.

або

Тоді:

І. .

.

ІІ.

.

Отже загальний розв’язок рівняння Бернуллі має вигляд:

.

Використовуючи початкові умови знайдемо сталу :

.

Маємо частинний розв’язок рівняння Бернуллі:

.

Приклад 17. Розв’язати задачу Коші:

.

Розв’язання.

Аналогічно попередньому прикладу загальний розв’язок задачі шукаємо у вигляді . Маємо:

І.

.

ІІ.

.

Тоді, загальний розв’язок даного рівняння має вигляд:

, або.

Для визначення частинного розв’язку знаходимо , підставляючи початкові умови в загальний розв’язок:

.

Тому, частинний розв’язок має вигляд:

.