18. Реакция линейных цепей на единичные функции. Переходная и импульсная характеристики цепи, их связь.

Единичная ступенчатая функция (функция включения) 1(t) определяется следующим образом:

 График функции 1(t) показан на рис. 2.1.

 

Функция 1(t) равна нулю при всех отрицательных значениях аргумента и единице при t ³ 0 . Введем в рассмотрение также смещенную единичную ступенчатую функцию

Такое воздействие включается в момент времени t = t ..

Напряжение в виде единичной ступенчатой функции на входе цепи будет при подключении источника постоянного напряжения U₀ =1 В при t = 0 с помощью идеального ключа (рис. 2.3).

Рис. 2.3.

 

Единичная импульсная функция (d - функция, функция Дирака) определяется как производная от единичной ступенчатой функции. Поскольку в момент времени t = 0 функция 1(t) претерпевает разрыв, то ее производная не существует (обращается в бесконечность). Таким образом, единичная импульсная функция

Это особая функция или математическая абстракция, но ее широко используют при анализе электрических и других физических объектов. Подобного рода функции рассматриваются в математической теории обобщенных функций.

Воздействие в виде единичной импульсной функции можно рассматривать как ударное воздействие ( достаточно большая амплитуда и бесконечно малое время воздействия). Вводится также единичная импульсная функция, смещенная на время t = t

Единичную импульсную функцию принято графически изображать в виде вертикальной стрелки при t = 0, а смещенную при - t = t (рис. 2.4).

Если взять интеграл от единичной импульсной функции, т.е. определить площадь, ограниченную ею, то получим следующий результат:

Рис. 2.4.

 Очевидно, что интервал интегрирования может быть любым, лишь бы туда попала точка t = 0. Интеграл от смещенной единичной импульсной функции d (t-t ) также равен 1 (если в пределы интегрирования попадает точка t = t ). Если взять интеграл от единичной импульсной функции умноженной на некоторый коэффициент А₀ , то очевидно результат интегрирования будет равен этому коэффициенту. Следовательно, коэффициент А₀ перед d (t) определяет площадь, ограниченную функцией А₀ d (t).

Для физической интерпретации d - функции целесообразно ее рассматривать как предел, к которому стремиться некоторая последовательность обычных функции, например

Переходная и импульсная характеристики

Переходной характеристикой h(t) называется реакция цепи на воздействие в виде единичной ступенчатой функции 1(t). Импульсной характеристикой g(t) называется реакция цепи на воздействие в виде единичной импульсной функции d (t). Обе характеристики определяются при нулевых начальных условиях.

Переходная и импульсная функции характеризуют цепь в переходном режиме, так как они являются реакциями на скачкообразные, т.е. довольно тяжелые для любой системы воздействия. Кроме того, как будет показано ниже с помощью переходной и импульсной характеристик может быть определена реакция цепи на произвольное воздействие. Переходная и импульсная характеристики связаны между собой также как связаны между собой соответствующие воздействия. Единичная импульсная функция является производной от единичной ступенчатой функции (см. (2.2)), поэтому импульсная характеристика является производной от переходной характеристики и при h(0) = 0 . (2.3)

Это утверждение следует из общих свойств линейных систем, которые описываются линейными дифференциальными уравнениями, в частности, если к линейной цепи с нулевыми начальными условиями вместо воздействия прикладывается его производная, то реакция будет равна производной от исходной реакции.

Из двух рассматриваемых характеристик наиболее просто определяется переходная, так как она может быть вычислена по реакции цепи на включение на входе источника постоянного напряжения или тока. Если такая реакция известна, то для получения h(t) достаточно разделить ее на амплитуду входного постоянного воздействия. Отсюда следует, что переходная (также как и импульсная) характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной в зависимости от размерности воздействия и реакции.

Пример. Определить переходную h(t) и импульсную g(t) характеристики последовательной RC-цепи.

Воздействием является входное напряжение u₁(t), а реакцией - напряжение на емкости u₂(t). Согласно определению переходной характеристики ее следует определять как напряжение на выходе, когда на вход цепи подключается источник постоянного напряжения U₀

 Такая задача была решена в разделе 1.6, где получено u₂(t) = u_C (t) = Таким образом,h(t) = u₂(t) / U₀ = Импульсную характеристику определим по (2.3).