22.Преобразование Фурье и его основные свойства. Частотные спектры импульсных сигналов, отличия от частотных спектров периодических несинусоидальных сигналов.

Непериодический сигнал f(t), например единичный прямоугольный импульс,

можно представить как периодический с периодом Т  ∞. При этом амплитуды гармонических составляющих, согласно (3.81), будут стремиться к нулю, т.е. станут бесконечно малыми величинами. Кроме того, расстояние между спектральными составляющими, которое определяется основной частотой ω₁=2π/Т также становится бесконечно малой величиной и спектр из дискретного преобразуется в сплошной.

Таким образом, непериодическое колебание можно рассматривать как сумму бесконечного числа бесконечно малых по амплитуде гармонических колебаний, частоты которых отличаются на бесконечно малые величины и заполняют весь частотныйдиапазон. Ряд Фурье преобразуется в известный из математики интеграл Фурье:

(3.81)

где (3.82)

Предполагается, что функция f(t) во всяком конечном промежутке удовлетворяет условиям Дирихле, абсолютно интегрируема в бесконечных пределах и f(t)=0 при t<0. Для нас важно, что (3.82) представляет из себя интегральную сумму бесконечно большого числа гармонических колебаний с бесконечно малыми амплитудами |F(jω)|dω/π, начальными фазами φ(ω) и частотами ω, непрерывно изменяющимися от ω=0 до ω→ ∞.

Функция |F(jω)| называется спектральной плотностью амплитуд, т.к. амплитуда составляющих для каждого бесконечно малого диапазона частот от ω до ω+dω пропорциональна значению этой функции. Функция φ(ω) характеризует спектр фаз непериодического сигнала. Комплексную функцию F(jω) называют комплексной спектральной плотностью, а соотношение (3.82)-односторонним преобразованием Фурье.

Нетрудно увидеть аналогию и связь преобразований Лапласа и Фурье. Сравнивая (3.82) и (3.40), можно сделать заключение, что одностороннее преобразование Фурье F(jω) может быть получено из преобразования Лапласа F(p) при p = jω,т.е.

(3.83)

Соотношение (3.83) может быть использовано для анализа спектрального состава различных сигналов с использованием обширных таблиц преобразований Лапласа.

23.Расчет частотных характеристик цепи. Определение переходной характеристики по вещественной частотной.

Частотные характеристики

Функция F(j)  F() e^j() называется спектральной или частотной характеристикой функции f(t), так как она представляет собой непрерывный спектр функции f(t).

Обозначения F() и () показывают, что модуль F и аргумент  величины F(j) являются функциями угловой частоты .

Соотношение (**) показывает, что непериодическая функция, удовлетворяющая вышеуказанным условиям, может быть представлена как сумма бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами F() d и с частотами, занимающими весь диапазон от – до +.

ВеличинаF(), характеризующая зависимость амплитуды от частоты, называется амплитудно-частотной характеристикой. Величина (), характеризующая зависимость начальной фазы  /2 +  от частоты, называется фазочастотной характеристикой.

Так как спектральная характеристика представляет собой деленную на j комплексную амплитуду гармонической составляющей, отнесенную к единице изменения частоты f  /(2), то ее называют также спектральной плотностью функции f(t).

Представим частотную характеристику в виде

При этом величина F₁() называется вещественной частотной характеристикой, а величина F₂() — мнимой частотной характеристикой.

Замечая, что F(j) и F(–j) являются сопряженными комплексными величинами, можем написать для их модулей и фаз

Следовательно, F() является четной функцией , а () — нечетной функцией. Поэтому, представив подынтегральную величину в выражении (**) в виде

будем иметь

и, следовательно, выражение (**) можно переписать в форме

представляющей собой интеграл Фурье (обратное преобразование Фурье) в тригонометрической форме. Последнее выражение со всей ясностью показывает, что непериодическую функцию, удовлетворяющую отмеченным ранее условиям, можно рассматривать как сумму бесконечного множества гармонических составляющих с бесконечно малыми амплитудами F() d и начальными фазами ()  /2 + (). То, что амплитуды в этом случае оказались в два раза больше, чем при рассмотрении выражения (**), есть результат того, что в последнем выражении  изменяется от 0 до +, а не от – до + и, соответственно, гармоники с частотами  и –, содержащиеся в выражении (**), просуммированы в последнем выражении.

Нетрудно заметить, что

и

или

Последнее равенство выражает собой теорему Релея, а также называется равенством Парсеваля.

В частном случае, когда f(t)  e представляет собой ЭДС, воздействующую на цепь только с активными сопротивлениями, равно энергии, выделяемой в цепи, причемg есть эквивалентная проводимость всей цепи. Равенство Парсеваля показывает, что в данном случае эта энергия может быть вычислена по известной амплитудно-частотной характеристике ЭДС.