34. Аппроксимация нелинейных характеристик. Аналитический метод расчета.

Метод  аналитической  аппроксимации

Метод  основан  на  аппроксимации  характеристики  нелинейного  элемента  аналитической  функцией,  которая  должна,  с  одной  стороны,  достаточно  точно  отображать  исходную  нелинейную  характеристику  на  участке  перемещения  рабочей  точки,  а  с  другой  стороны,  обеспечивать  возможность  достаточно  несложного  интегрирования  полученного  дифференциального  уравнения  (в  частности,  с  использованием  табличных  интегралов).

Метод  применим  к  нелинейным  цепям  с  одним  накопителем  энергии,  описываемым  дифференциальными  уравнениями  первого  порядка,  а  также  к  цепям,  описываемым  уравнениями,  сводящимися  к  уравнениям  первого  порядка  путем  замены  переменных.

Ценность  метода  заключается  в  получении  выражения  исследуемой  величины в общем виде, что позволяет  осуществлять  требуемый  анализ  процессов  при  варьировании  параметров  схемы.

В качестве примера использования метода определим ток в схеме на рис. 3, полагая, что характеристика нелинейной катушки имеет вид типовой кривой на рис. 2.

1. Для  решения  задачи  выберем  выражение  аналитической  аппроксимации  вида .  Определяя  параметриз  условия  соответствия  данной  функции  точке  установившегося  послекоммутационного  режима,  получим

,

(4)

где  .

2. Подставив  в  уравнение  переходного  процесса

аналитическое  выражение  тока  с  учетом  (4),  получим

(5)

Разделяя  переменные  и  решая  (5)  относительно  времени,  запишем

(6)

  где – начальное  значение  потокосцепления,  соответствующее  значению  тока  в  момент  коммутации.

Выражение  (6)  соответствует  табличному  интегралу;  в результате  получаем

.

(7)

Подставив  в  последнее  соотношение  выражение  потокосцепления  в  виде

,

перепишем  (7)  как

.

35. Особенности периодических процессов в электрических цепях с инерционными элементами.

Характер протекания динамических процессов в нелинейных цепях существенно зависит от того, успевают ли свойства нелинейного элемента "следить" за изменением тока и напряжения на элементе. Если нелинейность элемента связана с температурной зависимостью сопротивления, что мы наблюдаем, в частности, у лампочки накаливания, то при достаточно быстрых изменениях тока через лампу (например, при питании ее от сети с частотой 50 Гц) нить лампы имеет в течение периода практически постоянную температуру, а следовательно и ее сопротивление R сохраняется неизменным. Поэтому формы кривых тока i и напряжения на лампе u = Ri в течение периода будут подобны. Такие элементы являются  инерционными. Их нелинейность не проявляется при достаточно быстрых изменениях тока и напряжения, и их зависимости для мгновенных значений  i(u) линейны. Она проявляется при изменении амплитуд или действующих величин периодических тока и напряжения — их вольтамперная характеристика I(U), связывающая действующие значения, представляет собой нелинейную зависимость. 

У безынерционных нелинейных элементов нелинейность проявляется и в отношении мгновенных значений тока и напряжения. Поэтому при подаче на элемент, например, синусоидального напряжения, ток в нем будет иметь форму, отличную от синусоиды. К таким элементам относятся электронные приборы: диоды и транзисторы. При невысоких частотах носители тока в них не обладают существенной инерцией. Однако деление реальных компонентов электрических цепей на инерционные и безынерционные носит относительный характер. Так, при частотах в несколько герц сопротивление лампы накаливания уже успевает изменяться в течение периода, и этот элемент следует рассматривать как безынерционный. С другой стороны, при подаче на диод напряжения достаточно высокой частоты инерционность его свойств становится существенной. 

При периодических процессах в нелинейных цепях, содержащих только инерционные элементы, параметры элементов в течение периода сохраняются неизменными, и можно использовать методы расчета периодических процессов в линейных цепях — векторные диаграммы, комплексный метод, спектральные методы. Это существенно упрощает анализ динамических режимов нелинейных цепей с инерционными элементами.

Процессы в цепях с безынерционными элементами имеют более сложный характер. При питании таких цепей  от синусоидального источника токи и напряжения являются обычно периодическими с периодом сигнала источника, но не синусоидальными, так как содержат высшие гармоники с частотами, кратными частоте источника.

В таких цепях могут наблюдаться и гармонические составляющие с частотами, в некоторое число раз меньшими основной частоты  — субгармоники, а также кратные им. При периодическом возбуждении нелинейных цепей в определенных условиях возможно также возникновения непериодического режима. 

Если в цепи с нелинейными безынерционными элементами, питаемой от источника периодического сигнала, наблюдается периодический режим, то токи и напряжения на ее участках содержат первую и высшие гармоники. Покажем это на примере простейшей цепи, включающей безынерционный резистор с характеристикой, описываемой формулой i = au³ (рис. 29.1, а, кривая 1). При питании резистора от источника синусоидального напряжения u = U_m sint ток в нем равен i = aU_m³sin³t (рис. 29.1,б).

Рис. 29.1

Используя тригонометрическое тождество sin³  ¾ sin  ¼ sin3, определим его гармонический состав:

.

Так, при синусоидальном напряжении на резисторе его ток содержит 1-ю и 3-ю гармоники. Если, наоборот, через резистор протекает синусоидальный ток i = I_msint, то напряжение на нем u = (I_m/asint)^1/3 несинусоидально (рис. 29.1,в) и содержит бесконечное число гармоник с нечетными индексами (1, 3, 5,...): U_m1 = 1,160(I_m/a)^1/3, U_m3 = 0,232(I_m/a)^1/3, …

Аналогично связаны токи и напряжения в цепях с безынерционными катушками и конденсаторами. Цепи с безынерционными элементами можно использовать в качестве генераторов гармоник — спектр их выходного сигнала содержит частоты, отсутствующие в спектре входного сигнала. Это позволяет в нелинейных цепях осуществлять преобразования частоты, не реализуемые в линейных цепях, принципиально не способных генерировать гармонические составляющие, отсутствующие в спектре входного сигнала. 

Еще более сложный характер имеют процессы в цепях, в которых действуют несколько источников с различными частотами. Например, при действии двух источников с частотами _ и _ нелинейные связи тока и напряжения на безынерционном элементе приведут к появлению в спектре сигналов не только высших гармоник 2_, 3_, … и 2_, 3_, …, но и комбинационных частот — составляющих с частотами _ + _, _  _ и кратных им. Это еще более расширяет возможности преобразования спектров сигналов нелинейными цепями и используется на практике для модуляции и детектирования.