36. Спектральный состав тока в цепи с нелинейным резистором при воздействии синусоидального напряжения. Комбинационные колебания.

Если в цепи с нелинейными безынерционными элементами, питаемой от источника периодического сигнала, наблюдается периодический режим, то токи и напряжения на ее участках содержат первую и высшие гармоники. Покажем это на примере простейшей цепи, включающей безынерционный резистор с характеристикой, описываемой формулой i = au³ (рис. 29.1, а, кривая 1). При питании резистора от источника синусоидального напряжения u = U_m sint ток в нем равен i = aU_m³sin³t (рис. 29.1,б).

Рис. 29.1

Используя тригонометрическое тождество sin³  ¾ sin  ¼ sin3, определим его гармонический состав:

.

Так, при синусоидальном напряжении на резисторе его ток содержит 1-ю и 3-ю гармоники. Если, наоборот, через резистор протекает синусоидальный ток i = I_msint, то напряжение на нем u = (I_m/asint)^1/3 несинусоидально (рис. 29.1,в) и содержит бесконечное число гармоник с нечетными индексами (1, 3, 5,...): U_m1 = 1,160(I_m/a)^1/3, U_m3 = 0,232(I_m/a)^1/3, …

Спектральный состав тока при бигармоническом воздействии.

Пусть к нелинейному резистивному элементу подведено бигармоническое воздействие, т. е. колебание в виде суммы двух гармонических колебаний разных частот и постоянное напряжение смещения U₀

U = U₀ + U_m1cos(_t +_) +  U_m2cos(_t +_).

Предположим, что ВАХ нелинейного элемента описывается полиномом

i(t) = a₀ + a₁(n - U₀) + a₂(n - U₀)² + ...+ a_n(n - U₀)ⁿ

Тогда ток в цепи НЭ равен:

(11.13) 

Для анализа спектра тока аппарат рядов Фурье здесь не применим, так как в общем случае функция (11.13) не является периодической. Следует, как и при гармоническом воздействии на НЭ, воспользоваться формулами преобразования тригонометрических функций. При этом для квадратичного члена суммы (11.13)

Допустим, что n = 3, т.е., что вольт - амперная характеристика нелинейного элемента описывается полиномом третьей степени. Тогда полученные выше выражения для i₂(t) и i₃(t) показывают, что ток в элементе кроме линейной состовляющей реакции i₂(t) = a₁U_m1cos(_t + _) + a₁U_m2cos(_t + _) содержит также постоянную состовляющую, гармонические колебания с частотам 2_2__ и _

Перечисленные состовляющие спектра характерны и для воздействия на тот же элемент двух гармонических колебаний с частотами _ и _порознь. При совместном же их воздействии в спектре реакции появляются колебания с частотами

|₁ ± ₂|, |2₁ ± ₂| и |₁ ± 2₂|*

(* Знак модуля в общем случае необходим, так как частота колебания не может быть отрицательной).

Соответствующие колебания называются комбинационными, а их частоты - комбинационными частотами. Амплитуды комбинационных колебаний зависят от амплитуд обеих состовляющих бигармонического воздействия и в рассматриваемом примере для колебаний с частотами

|₁ ± ₂|, |2₁ ± ₂| и |₁ ± 2₂|

пропорциональны соответственно произведениям U_m1U_{m1, и}

Аналогичные выкладки для остальных членов суммы (11.13) приводят к заключению, что при бигармоническом воздействии на нелинейный элемент с полиномиальной вольт-амперной характеристикой спектр реакции содержит гармонические колебания с частотами

= |l₁ ± m₂|

(11.14)

где  l = 0, 1, 2, ..., n;  m = 0, 1, 2, ..., n,   l + mn.

Сумма   l + m  определяет порядок комбинационного колебания с частотой (11.14). Так, комбинационные колебания 4-го порядка -это колебание с частотами 4_ , |3₁ ± ₂|, |2₁ ± 2₂| и |₁ ± 2₂| и 4_

Комбинационные частоты при воздействии суммы гармонических колебаний. В общем случае входное воздействие можно представить бесконечной суммой

В зависимости от степени n аппроксимирующего полинома в спектре тока, протекающего через нелинейный элемент, появляются комбинационные частоты вида:

|l₁ ± m₂ ± s_±_k_k± ...|; l + m + s + ... + k + ...  n;

l, m, s, k - целые положительные числа. Например, при воздействии на НЭ с ВАХ в виде полинома второй степени суммы трех гармонических колебаний в спекрте тока, помимо постоянной состовляющей и первых двух гармоник кажддй частоты, присутствуют комбиционные частоты |₁ ± ₂| ; |₁ ± ₃| ; |₂ ± ₃| . При аппроксимации полиномом третьей степени дополнительно появляются третьи гармоники с частотами 3_3__и колебания с комбинационными частотами  типа |₁ ± ₂ ± ₃| , |2₁ ± ₃| , |₁ ± 2₃| и т.д