5.3 Обобщённые силы и обобщённые перемещения

Под обобщённой силой будем понимать любое силовое воздействие. Подобобщённым перемещениембудем понимать условное перемещение, определённое из того, что произведение обобщённой силы на обобщённое перемещение равновозможной работе. Сказанное поясним примерами.

Пример 3.

А=F·∆₁+2F·∆₂+3F·∆₃+2F·∆₄+5F·∆₅=F*·∆*,

где F* обобщённая сила;

∆* обобщённое перемещение.

Здесь же необходимо дать понятие о действительной и возможной работе. При деформации тела внешние силы совершают работу на перемещениях точек приложения этих сил. Внутренние силы совершают работу на соответствующих им деформациях, которые могут быть как линейными, так и угловыми.

Работа называется действительной, если она производится на перемещениях, вызванных теми же силами.

Работа называется возможной, если она производится на перемещениях или деформациях, вызванных другими силами.

5.4. Действительная работа внутренних сил

Выделим из конструкции, подверженной внешнему силовому воздействию, бесконечно малый элемент (рис. 5.4) длинойdℓ,на гранях которого имеют место внутренние силовые факторыM, Q и N.

Внутренние силовые факторы противодействуют изменению длин волокон материала, изгибу, сдвигу. Поэтому действительная работа, создаваемая внутренними силовыми факторами, будет отрицательной. В формулах для определения таких работ в этой связи ставят знак минус.

На основании принципа суперпозиции найдём работу, совершаемую каждым из этих внутренних силовых факторов на вызванных ими перемещениях.

1. Работа продольных сил.

Силы N вызвали изменение первоначальной длины элемента на величину (рис. 5.5). Возникшие при этом внутренние усилия будут равны по величине внешним силам и противоположны по знаку.

Из курса сопротивления материалов известно, что изменение длины стержня при деформации «растяжениесжатие», когда на стержень действует сосредоточенная продольная силаN,определяют по формуле

. (5.3)

Элементарная работа внутренних сил на совершаемых ими перемещениях (в данном случае ),согласно приведённому здесь определению действительной работы, может быть определена в соответствии с (5.2) по формуле

. (5.4)

Подставляя в выражение (5.4) выражение (5.3), получают формулу для определения элементарной работы:

. (5.5)

Тогда в целом по стержню продольная сила N совершит работу

. (5.6)

В случае действия на стержень системы продольных сил N, выражение (5.6) принимает следующий вид:

. (5.7)

2. Работа изгибающего момента.

Под действием изгибающего мо-мента М (рис. 5.6) произойдёт вза-имный поворот сечений бесконечно малого элемента длиной .При этом элементарная работа, соверша-емая сосредоточенным моментом М,будет равна

. (5.8)

В сопротивлении материалов при рассмотрении чистого изгиба получено следующее соотношение: .Из рассмотрения треугольникаОАВ(см.рис. 5.6) очевидно, что .Подставляя эти соотношения в выражение (5.8), получим

. (5.9)

Выражение работы в целом для всего стержня с учётом действия на него системы сосредоточенных моментов принимает следующий вид:

(5.10)

3. Работа от действия поперечной силы.

Вызванный силой Qсдвиг торцевых сечений бесконечно малого элемента определится из выражения .С другой стороны, в соответствии с законом Гука при сдвиге .Подставив это соотношение в предыдущую формулу и учтя ,найдём величину сдвига

. (5.11)

Закрепим условно левую грань (рис. 5.7) бесконечно малого элемента и предположим, что касательные напряжения распределены по всей высоте сечения равномерно. Исходя из этого предположения

Элементарная работа статической силы Qна этом перемещении будет равна

. (5.12)

Из курса сопротивления материалов известно, что в действительности эпюра касательных напряжений по высоте сечения является непостоянной. Она изменяется по квадратной параболе от нуля в крайних волокнах до максимума в уровне нейтрального волокна. Поэтому в выражение (5.12) вводят поправочный коэффициент ,учитывающий неравномерность распределения по высоте сечения касательного напряжения .Формула, по которой определяют этот коэффициент, получена из известной формулы Журавского.

.(5.13)

Величина этого коэффициента, что очевидно из формулы (5.13), в которой участвуют только геометрические параметры сечения, зависит от формы поперечного сечения элемента. При этом коэффициент всегда больше единицы. Так, для прямоугольника .

Выражение работы в целом для всего стержня с учётом действия на него системы сосредоточенных поперечных сил принимает следующий вид:

. (5.14)

Суммируя работы от всех рассмотренных силовых факторов, получим выражение действительной работы внутренних силовых факторов

. (5.15)

Выражение (5.15), взятое с обратным знаком, носит название потенциальной энергии системы: .