2.9. Узловая передача нагрузки

Вконструкциях транспортных сооружений внешняя, в частности подвижная, нагрузка на несущие элементы передаётся через вспомогательные элементы. Имеет место так называемая узловая передача нагрузки. В этом случае обобщение закона о линиях влияния требует, чтобы последние в характере своего изменения удовлетворяли, с одной стороны, основному свойству линии влияния, по которому (рис. 2.21) усилие определяют по формуле ;с другой стороны, чтобы эта величина удовлетворяла условию передаточного действия нагрузки, по которому .

По правилу рычага нагрузку Fраскладывают на нагрузки F_n и F_n+1,являющимися узловыми нагрузками

(2.18)

Отсюда следует, что при узловой передаче нагрузки линия влияния изменяется между узлами по закону прямой. На рис. 2.22 показаны примеры построения линий влияния при узловой передаче нагрузки.

2.10. Определение усилий в матричной форме

При решении многих задач строительной механики удобным оказывается использование матричного аппарата линейной алгебры.

На основании принципа суперпозиций запишем аналитические выражения для определения любых внутренних усилийSв различных сечениях стержня, подверженного действию системы сосредоточенных сил.

(2.19)

В выражении (2.19) усилие в -м сечении от действия силы .В матричной форме эта система уравнений может быть записана в виде

.(2.20)

В выражении (2.20) вектор искомых усилий ; ^Т транспонированный вектор внешних нагрузок.

матрица влияния усилия. (2.21)

Из выражения (2.21) видно, что элементами матрицы влияния являются ординаты линий влияния того усилия, матрица влияния которого строится.

При определении усилий в матричной форме любая задача решается шире, чем это имеет место при определении усилия с помощью линии влияния. В этом случае охватывается сразу несколько сечений рассматриваемой конструкции. Размер матрицы влияния L_s зависит от числа участков, на которые разбивают рассчитываемую конструкцию.

Рассмотрим, например, построение матрицы влияния L_m моментов. Для этого возьмём двухопорную шарнирно опёртую с обеих сторон балку (рис. 2.23), разделённую на пять (n)равных по длине участков. Длина каждого участкаd=. Если в точках 1,2,3,4 приложены какие-то сосредоточенные силыF,то изгибающий момент Мв каждом из этих сечений определится в соответствии с (2.19) из выражений (2.21)

(2.22)

.

В матричной форме выражения (2.22) примут вид , где вектор-столбец искомых моментов; вектор-столбец внешних нагрузок.

Из рис. 2.23 и выражений (2.22) ясно, что элементами матрицы влияния L_mявляются ординаты линий влияния моментов М для каждого сечения соответственно. Для данного примера эта матрица примет следующий вид:

матрица влияния моментов.

.(2.23)

Из анализа структуры матрицы влияния L_mнаблюдается закономерность в определении элементов матрицы влияния моментов. Исходя из этого любой элемент матрицы влияния моментов может быть определён по формулам.

Приi jm_ij=(d/n)(n j);приi j m_ij=(d/h)(ni).

Рассмотрим пример построения эпюры Мдля балки (рис. 2.24), нагруженной системой сосредоточенных силF.

Пролёт балки =10 м разделён на пять частей, т.е.n=5. Тогда длина одной части составит.F₁= 5кН;F₂= 15кН;F₃= 5кН.

Построение эпюры Мбудем осуществлять в соответствии с выражением (2.19), которое в матричной форме имеет вид

. (2.24)

При этом вектор-столбец искомых моментов ,вектор-столбец и матрица влияния моментов L_m приобретают следующий вид:

;;.

Подставляя полученные матрицы в выражение (2.24) и совершая операцию перемножения матриц, получаем вектор-столбец искомых усилий изгибающих моментовМ.

.

По полученному вектору искомых изгибающих моментов построена эпюра М(см. рис. 2.24).

Матрицы влияния моментов для консольных балок имеют следующий вид:

Защемление слева  .

Защемление справа  .