5.5. Теоремы о взаимности работ и перемещений

Рассмотрим два состояния упругой системы (рис. 5.8).

1-е состояние 2-е состояние

В дальнейшем, понимая под Fкакую-то обобщённую силу, уберём индекс (*). Физический смысл показанных на рис. 5.8 перемещений заключается в следующем:

перемещение в направлении силы F₁от действия той же силы F₁;

перемещение в направлении силы F₂от действия силы F₁;

перемещение в направлении силы F₁ от действия силыF₂;

перемещение в направлении силы F₂от действия той же силыF₂.

Работу силы F₁ на вызванном ею перемещении обозначим W₁₁,а работу силы F₂на вызванном ею перемещении W₂₂.Учитывая, что эти силы приложены статически, в соответствии с определением действительной работы запишем

(5.16)

С другой стороны, используя выражение (5.15), запишем

(5.17)

Рассмотрим теперь статическое нагружение данной системы в такой последовательности (рис. 5.9): сначала к системе статически прикладывается силаF₁.Затем, когда процесс нарастания силы F₁закончится, к уже деформированной системе также статически прикладывается силаF₁. До приложения силы F₂работа .

В результате дополнительного нагружения силой F₂система получает дополнительные деформации. В связи с этим в ней возникают дополнительные усилия, равные тем, что имели место во втором (см. рис. 5.8) состоянии. В процессе приложения силыF₂сила F₁остаётся неизменной. Поэтому она на перемещениях, вызванных силoй F₂,совершает возможную работу .В это время сила F₂ на вызванном ею перемещении совершает действительную работу .Таким образом, полная работа системы при описанном характере её нагружения будет равна

. (5.18)

С другой стороны, учтя, что работа сил не зависит от порядка их приложения, можно записать

. (5.19)

Приравнивая два последних выражения, после преобразований получаются следующие равенства:

или. (5.20)

На основании полученных равенств формулируется теорема о взаимности работ (теорема Бетти) – возможная работа сил первого состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами второго состояния, равна возможной работе сил второго состояния на перемещениях по их направлениям, вызванных силами первого состояния.

Выразим механическую работу через внутренние усилия N,Mи Q,записывая выражение (5.18)для внутренних сил:

. (5.21)

. (5.22)

Подставляя в (5.21) формулы (5.22) и (5.17), после преобразований получим выражение, описывающее механическую работу W₁₂:

. (5.23)

Из анализа выражения (5.23) очевидно, что каждое подынтегральное выражение представляет собой произведение внутреннего силового фактора одного состояния на соответствующее перемещение (деформацию), вызванное силами другого состояния.

Снова рассмотрим два состояния системы. Но в качестве нагрузок в обоих состояниях примем силы и .Тогда вызванные ими перемещения (рис. 5.10) будут единичными .

На основании теоремы Бетти можно записать .Поскольку силы и ,то получается равенство ,называемое теоремой о взаимности перемещений (теорема Рэлея).Перемещения по направлению сил первого состояния от сил, равных единице, второго состояния равны перемещениям по направлению сил второго состояния от сил, равных единице, первого состояния.

1-е состояние 2-е состояние