2.7. Кинематический способ построения линий влияния

Кинематический способ построения линий влияния основан на принципе возможных перемещений (принцип Лагранжа). Если система твёрдых тел, связанная между собой идеальными связями, находится в равновесии, то сумма работ всех заданных сил на любых сколь угодно малых возможных перемещениях равна нулю.

Идеальными считаются такие связи, в которых отсутствуют трение, обмятия узлов и другие аналогичные явления. Возможными считаются такие перемещения, какие допускают идеальные связи.

В соответствии с этим методом каждая линия влияния представляет собой эпюру перемещений. Рассмотрим построение линии влияния опорной реакции (рис. 2.15) для однопролётной балки АВ.Поместив подвижную единичную силуFв произвольную точку, отбрасывают опорную связь в точкеА.

Под действием силы F=1балка АВ,ставшая механизмом, повернётся вокруг опорыВна угол,а перемещение точки под силой F=1составит величину у.

В соответствии с принципом Лагранжа можно записать следующее выражение:

FуR_A= 0. (2.9)

Р

_

F=1

абота силы взята со знаком минус, так как силаR_Aпротивоположна направлению перемещения точки А.Учитывая то, что F =1,из (2.9) найдёмR_A= 1у.

Если ординаты возможных перемещений выразить как функцию угловой скорости возможного вращения вокруг шарнира В,то выражение величины опорной реакции получит такой же вид, как и выражение (2.1),

т. е. R_A=F. Исходя из это- го, когда подвижная силаF =1 будет находиться над опоройА,

станет соблюдаться равенство у=.

При построении линии влияния момента для превращения балки АВв механизм (рис. 2.16) в сечение, для которого требуется построить эту линию влияния, вводят условный шарнир. Высвободившееся усилие обозначают символомM. Введение шарнира даёт балке возможность провиснуть, и эпюра возможных перемещений такой балки охарактеризуется двумя прямыми, взаимно пересекающимися на вертикали под шарниром. Восстановление равновесия может быть достигнуто приложением в рассматриваемом сечении двух равных взаимно противоположных моментовМ.

Выражение возможной работы в этом случае примет следующий вид:

М МFy. (2.10)

Учитывая то, что F=1,из (2.10) найдёмМ= .

Величины угловых смещений и по их малости могут быть заменены тангенсами, а именнока,тогда последнее выражение примет вид:

М = .(2.11)

По выражению (2.11) можно найти ординаты линии влияния М.

При построении линии влияния поперечной силы Qдля превращения балкиАВв механизм (рис. 2.17) в сечение, в котором требуется построить эту линию влияния, вводят условное устройство, допускающее только взаимный сдвиг звеньев балки между собой.

Выражение возможной работы в этом случае примет вид

 QcQc^′+Fy= 0.

Откуда с учётом того, что с+с^′=, находят

Q = . (2.12)

2.8. Определение расчётного положения

подвижной системы нагрузок

Расчётное положение подвижной системы сосредоточенных сил над линией влияния усилия Sсоответствует maxили minискомой величины этого усилия. В общем случае искомое усилиеSможет иметь несколько экстремальных (maxили min)значений.

В тех случаях, когда искомое усилиеS=f(x),представляет собой функцию положения системы сил на балке, и её первая производная, являющаяся непрерывной функцией, из условияdS/dx = 0можно найти положение подвижной системы сосредоточенных сил, при которых S=f(x)достигает экстремального значения.

Рассмотрим определение экстремального значения усилия Sпри загружении треугольных линий влияния.

Для случая, когда вершина треугольника линии влияния находится в начале или в конце линии влияния (рис. 2.18), экстремальным положение подвижной системы сосредоточенных нагрузок будет тогда, когда вся наибольшая нагрузка находится над вершиной линии влияния или вся система нагрузок находится над всей линией влияния, начиная с её вершины.

То или иное расположение нагрузки зависит от количественных значений каждой из нагрузок, составляющих данную подвижную систему.

В случае, когда подвижная нагрузка представляет собой равномерно распределённую нагрузку, экстремальным будет такое (рис. 2.19) расположение этой нагрузки, когда ординаты этой линии влияния, находящиеся в начале и конце действия распределённой нагрузки у_ни у_к,будут равны между собой.

При загружении треугольной линии влияния системой сосредоточенных подвижных сил (рис. 2.20), когда вершина линии влияния находится на некотором расстоянии аот её начала, любое усилие можно найти исходя из выражения

.(2.13)

Если предположить, что вся система нагрузок сдвинулась вправо или влево, значение усилия получит приращение dS.В правой части равенства (2.13) ординаты изменятся на величинуdxtg_k.Тогда

tg_idx.(2.14)

Сумма, стоящая в правой части равенства (2.14), представляет собой значение первой производной от величины .Известно, что функция достигает своего экстремального значения, когда её первая производная равна нолю. В соответствии с этим

tg_i = 0.(2.15)

Но так как углы наклона ₁, ₂, …, _k, …, _n линии влияния остаются без изменения, выражение (2.15) может обратиться в ноль при условии, если изменяются величины некоторых силF.Последнее условие возможно только при переходе какой-либо силы, называемойF_кр,через вершину линии влияния. Исходя из этого получены условия (2.16), определяющие экстремальное положение над треугольной линией влияния системы сосредоточенных подвижных нагрузок:

(2.16)

В практике расчёта конструкций транспортных сооружений часто используют так называемую эквивалентную нагрузку. Эквивалентной называется такая равномерно распределённая нагрузка интенсивностью q_э, которая создаёт в рассматриваемом сечении такое же усилие, какое вызывает система из сосредоточенных нагрузок, установленная в экстремальном положении.

При загружении линии влияния любого усилия системой сосредоточенных нагрузок усилие может быть найдено по выражению (2.6) .По данному определению эквивалентной нагрузки усилие в соответствии с (2.7) может быть найдено по выражению .Приравнивая оба значения S,найдём

.(2.17)

Очевидно, что величина эквивалентной нагрузки зависит от вида и очертания линии влияния. Однако для подобных между собой линий влияния, которые могут быть построены одна из другой изменением всех ординат в одном и том же соотношении, эквивалентные нагрузки имеют одинаковую интенсивность