Анализ задания

В данном случае мы имеем дело с системой массового обслуживания (СМО). Аппарат систем массового обслуживания служит основной схемой формализованного описания систем, отличающихся непрерывным характером изменения времени и наличием случайности в поведении.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (приход новой заявки, окончание разгрузки).

Поток событий - последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то случайные моменты времени. Немаловажное свойство СМО – наличие входного и выходного потока заявок; входной поток – поступление заявок на обслуживание; выходной поток – покидание станции разгруженными грузовиками. Поток характеризуется интенсивностью, т.е. пределом отношения среднего числа заявок за интервал времени при стремлении этой длины к нулю. В нашем случае интенсивность поступления заявок – 3/8 [маш / час].

Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц (или "приборов"), которые называют каналами обслуживания. В нашей задаче каналами являются обслуживающие бригады. Среднее значение груза одной машины – 12 тонн, а среднее количество машин, прибывающих на разгрузочную станцию в течение 8 часов, - 3 грузовика. Даже при максимальной скорости разгрузки – 3,2 т/час – одной бригаде потребуется около 11 часов на разгрузку 3-х машин. Поэтому в нашей ситуации СМО является многоканальной.

Данная СМО также характеризуется существованием неограниченной очереди и отсутствием приоритетов на обслуживание, т.е. обслуживание идёт строго по очереди (FIFO).

"Примерка" различных схем формализации

Для моделирования необходимо выбрать ту схему формализации, с помощью которой можно наиболее просто и точно описать модель. Основные различия в схемах описания модели - это шаг изменения времени и необходимость учета в модели случайностей.

Существуют следующие схемы формализованного описания:

1) дискретно – детерминированная;

2) непрерывно – детерминированная;

3) дискретно – стохастическая;

4) непрерывно – стохастическая;

5) агрегативная.

Опираясь на анализ, проведенный выше, можно уверенно сказать, что в данном случае необходимо воспользоваться непрерывно-стохастической схемой формализации. Детерминированная схема не подходят, в связи с тем, что одной из их основных характеристик является отсутствие случайностей при работе и управлении объектом или пренебрежение ими. Дискретно-стохастическая схема не подходит, т.к. явления в объектах моделирования при ее применении рассматриваются как изменяющиеся во времени процессы, которые представительно описываются временными рядами, а дискретные интервалы планирования не характерны для данной системы. Класс агрегативных схем является классом обобщенных схем. Принципиально общая схема в состоянии заменить все частные, однако она сложнее, и для частных случаев её применение приводит к значительному усложнению вычислений.

И все же, приняв необходимые допущения и упрощения, попробуем построить все типы моделей.

Дискретно - детерминированная модель

Для построения этого вида модели воспользуемся аппаратом конечно-разностных уравнений. Для дискретно - детерминированных моделей характерно отсутствие случайностей и явления в них рассматриваются как изменяющиеся во времени процессы, которые описываются временными рядами. Шаг изменения времени принимается постоянным, равным единице. Под одним шагом будем подразумевать рабочие сутки (8-12 часов) реального времени. Имеем следующие случайные величины: количество прибывших грузовиков, вид и вес груза. Поэтому примем следующие допущения. За день прибывают 3 грузовика разных видов (А, В и С). Общий вес груза, прибывшего за день - x_t тонн в следующих пропорциях: 0,4x_t тонн груза вида А, 0,35x_t тонн груза вида В и 0,25x_t тонн груза вида С.

Целевая функция имеет вид:

с_t = 72·n_t-1 + 13,5·min,

где

с_t – затраты на разгрузку за текущие рабочие сутки,

n_t – количество бригад, разгружающих машины, суточная зарплата которых рассчитывается следующим образом: за 8-ми часовой рабочий день одна бригада получает 8·(4+2·2,25) ед. Количество бригад мы определяем с запаздыванием на один временной шаг (ориентируемся на данные предыдущего дня).

τ_i часов – количество часов, которое проработала i-я бригада сверхурочно, за сверхурочные работы i-я бригада получает 13,5 τ_i ед.

Суммируя выплаты всем n _t бригадам получим общие затраты на разгрузку за сутки.

Общее время разгрузки всего прибывшего за текущий день составляет

часов.

Общее сверхурочное время текущего дня τ_t = находим следующим образом:

τ_t = 0, если 0,375x_t / 8≤n_t-1

τ_t = 0,375x_t – 8n_t-1, если 0,375x_t / 8>n_t-1

Далее составляется уравнение динамики, например, для значения τ_t = 0,375x_t – 8n_t-1:

с_t = 72·n_t-1 + 13,5·(0,375x_t – 8n_t-1)

или

с_t = 5,06x_t – 36 n_t-1min

0,375x_t – 8n_t-1≤4·n_t-1

Зная вес прибывшего за текущий день груза, можно определить какое количество бригад n_t должно выйти на работу на следующий день, чтобы затраты на разгрузку были наименьшими и время сверхурочных работ не превышало 4-х часов.