2.2.2. Итерационные методы решения слау

Напомним, что достоинством итерационных методов является их применимость к плохо обусловленным системам и системам высоких порядков, их самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ. Итерационные методы для начала вычисления требуют задания какого-либо начального приближения к искомому решению.

Следует заметить, что условия и скорость сходимости итерационного процесса существенно зависят от свойств матрицы Асистемы и от выбора начальных приближений.

Для применения метода итераций исходную систему (1) или (2) необходимо привести к виду

(25)

и затем итерационный процесс выполняется по рекуррентным формулам

,k= 0, 1, 2, ... . (25*)

Матрица Gи векторполучены в результате преобразования системы (1).

Для сходимости (25*) необходимо и достаточно, чтобы |_i(G)| < 1, где_i(G) – все собственные значения матрицыG. Сходимость будет также и в случае, если ||G|| < 1, ибо |_i(G)| <||G|| (– любой).

Символ || ... || означает норму матрицы. При определении ее величины чаще всего останавливаются на проверке двух условий:

||G|| =, или ||G|| =, (26)

где . Сходимость гарантирована также, если исходная матрицаАимеет диагональное преобладание, т.е.

. (27)

Если (26) или (27) выполняются, метод итерации сходится при любом начальном приближении . Чаще всего векторберут или нулевым, или единичным, или сам векториз (25).

Имеется много подходов к преобразованию исходной системы (2) с матрицей Адля обеспечения вида (25) или условий сходимости (26) и (27).

Например, (25) можно получить следующим образом.

Пусть А=В +С,detВ 0;

тогда (B+С)=B= −C+B^–1B= − B^–1C+B^–1,

откуда = − B^–1C+B^–1.

Положив –B^–1C=G,B^–1=и получим (25).

Из условий сходимости (26) и (27) видно, что представление А=В +С не может быть произвольным.

Если матрица Аудовлетворяет требованиям (27), то в качестве матрицыВможно выбрать нижнюю треугольную

,a_ii0.

Или

;;;

.

Подбирая параметр можно добиться, чтобы ||G|| = ||E+A|| < 1.

Если имеет место преобладание (27), тогда преобразование к (25) можно осуществить просто, решая каждое i-е уравнение системы (1) относительноx_iпо следующим рекуррентным формулам:

g_ij= −a_ij /a_ii ;g_ii = 0;f_i=b_i /a_ii , (27*)

т.е. .

Если же в матрице Анет диагонального преобладания, его нужно добиться посредством каких-либо ее линейных преобразований, не нарушающих их равносильности.

Для примера рассмотрим систему

(28)

Как видно в уравнениях (I) и (II) нет диагонального преобладания, а в (III) есть, поэтому его оставляем неизменным.

Добьемся диагонального преобладания в уравнении (I). Умножим (I) на, (II) на, сложим оба уравнения и в полученном уравнении выберемитак, чтобы имело место диагональное преобладание:

(2+ 3)х₁+ (–1,8+ 2)х₂+(0,4– 1,1)х₃=.

Взяв == 5, получим 25х₁+х₂– 3,5х₃= 5.

Для преобразования второго уравнения (II) с преобладанием, (I) умножим на, (II) умножим на, и из (II) вычтем (I). Получим

(3– 2)х₁+ (2+ 1,8)х₂+(–1,1– 0,4)х₃= −.

Положим = 2,= 3, получим 0х₁+ 9,4х₂– 3,4х₃= −3. В результате получим систему:

(29)

Такой прием можно применять для широкого класса матриц.

Далее разделим в (29) каждое уравнение на диагональный элемент, получим

или

Взяв в качестве начального приближения, например, вектор = (0,2; –0,32; 0)^Т. Будем решать эту систему по технологии (25*):

k= 0, 1, 2, ...

Процесс вычисления прекращается, когда два соседних приближения вектора решения совпадают по точности, т.е.

.