Раздел 6. Численное интегрирование

6.1. Постановка задачи

6.1.1. Понятие численного интегрирования

Во многих научных и технических задачах интегрирование функций является важной составной частью математического моделирования площадей и объемов, значений работы, произведенной некоторыми силами и многие другие технические задачи. Напомним, что геометрический смысл простейшего определенного интеграла

, (1)

от f(x)0, как известно, состоит в том, что значение величиныI– это площадь, ограниченная кривойy=f(x), осью абсцисс и прямымиx =a,x =b

Рис. 6.1

Во многих случаях, когда функция f(x) в (1) задана в аналитическом виде, определенный интеграл вычисляется непосредственно с помощью неопределенного интеграла (посредством первообразной) по формуле Ньютона-Лейбница:

. (2)

Однако формулой (2) на практике можно воспользоваться не всегда, а именно:

– когда вид f(x) не допускает непосредственного интегрирования, т.е. первообразнаяF(x) не выражается в элементарных функциях;

– если значения f(x) заданы в табличной форме.

Универсальным подходом для решения поставленной задачи является использование методов численного интегрирования, основанных на аппроксимации подынтегральной функции с помощью интерполяционных многочленов различных степеней.

Следует подчеркнуть, что основная идея численного интегрирования заложена уже в определении известного интеграла Римана от f(x), формально записанного в виде (1). Напомним суть этого определения.

Пусть вещественная функция f(x) определена и ограничена на интервале [a,b]. Разобьем его наnпроизвольных частичных интервалов [x_i,x_i+1], 0in–1,x₀=a,x_n=b.

Выберем в каждом частичном интервале произвольную точку ,x_ix_i+1и составим, так называемую,интегральную сумму(рис. 6.1).

. (3)

Если предел S при стремлении длины наибольшего частичного интервала к нулю существует для произвольных_i, то его называютинтегралом Риманаот f(x):

. (4)

Тогда сумма (3) и дает простейший пример численного интегрирования. А ее верхняя S₂и нижняяS₁суммы определяют величину погрешностиS, а именно:

(5)

Существующие на практике формулы численного интегрирования, по существу, отличаются от (3) только явным указанием способов:

1) выбора x_i,_i;

2) ускорения сходимости в (4);

3) оценки погрешности посредством дополнительной информации о поведении f(x) (например, чтоf(x)C²[a,b]).

В качестве рабочего инструмента численного интегрирования вводится понятие квадратурной формулыдля (1). Для этого обобщим понятие интегральной суммы (3). Точки_i(рис. 6.1), в которых вычисляются значенияf(x) называютсяузлами, а коэффициенты (x_i+1 –x_i) в (3) заменяют некоторыми числами q_i, не зависящими отf(x), называемымивесами. Формула (3) заменяется следующей:

, (6)

где a  _i  b.

Очевидно, что интеграл (1) согласно (5) следует записать в виде:

. (7)

Формула (7) и называется квадратурной формулой, аRв (7) – погрешностью квадратурной формулы. При наличии альтернативы при выборе численных методов интегрирования следует заметить, что каждая конкретная квадратурная формула считается заданной, если указано, как выбирать_i, соответствующие весаq_i, а также методика оценки погрешностиRдля определенных классов функций.