1. Семейство методов Адамса

Известны методы Адамса k-го порядка. Простейший из них приk = 1 повторяет метод Эйлера первого порядка в точности. Метод четвертого порядка на практике принято называть методом Адамса. Рабочую формулу для него получают следующим образом.

Пусть известные в четырех последовательных узлах (k = 4) значение сеточной функцииy_i–3,y_i–2,y_i–1,y_iи вычисленные первоначально значения правой части (4)f_i–3,f_i–2,f_i–1,f_i. В качестве интерполяционного многочленаP₃(x) возьмем многочлен Ньютона. В случаеh =constконечные разности для правой части в узлеx_iбудут иметь вид

f_i = f_i – f_i–1;

²f_i = f_i – 2 f_i–1 + f_i–2;

³f_i = f_i – 3 f_i–1 + 3 f_i–2 – f_i–3.

Тогда разностная схема метода Адамса запишется в виде

. (26)

По сравнению с методом Рунге-Кутта той же точности можно отметить его экономичность, так как (26) предусматривает на каждом шаге только один раз вычисление правой части в соотношении (4). Однако расчет здесь можно начать только с узла x₄. Значенияy₁,y₂,y₃ необходимые для вычисленияy₄нужно определять одношаговым методом, что несколько усложняет алгоритм вычисления. Кроме того, метод Адамса не позволяет изменять шагhв процессе счета, что доступно для одношаговых методов.

2. Многошаговые методы, использующие неявные разностные схемы

На практике они называются методами прогноза и коррекции или (методами предиктор-корректор).

Суть их состоит в том, что на каждом шаге расчета вводятся 2 этапа, использующие многошаговые методы:

а) с помощью явного метода (предиктора) по известным значениям функции в предыдущих узлах находится начальное значение y_i+1=в новом узле;

б) используя неявный метод (корректор) в результате итераций находятся приближения ,... Посредством корректора итерации продолжаются до тех пор, покаине совпадут по желаемой точности и затем осуществляется переход к следующей точке сетки, т.е. по рассмотренному выше алгоритму определяется значениеy_i+2. Одним из вариантов метода прогноза и коррекции является метод на основе метода Адамса четвертого порядка.

Вид разностных соотношений на этапе предиктора

; (27)

на этапе корректора

. (28)

В (27) и (28) используются не f_i(конечные разности), а значения правой части (4), что удобнее для реализации на ЭВМ. Явная схема (27) используется на каждом шаге лишь один раз, а с помощью неявной схемы (28) строится итерационный процесс вычисленийy_i+1, поскольку это значение входит в правую часть выраженияf_i+1=f(x_i+1, y_i+1).

В данных формулах, как и в случае метода Адамса, при вычислении y_i+1 необходимы значения сеточной функции в четырех предыдущих узлах:y_i–3,y_i–2,y_i–1,y_i. Расчет по этому методу может быть начат только со значенияy₄.

Необходимые при этом значения y₁,y₂иy₃находятся по методу Рунге-Кутта,y₀задается начальным условием.

Метод Адамса легко распространяется на системы дифференциальных уравнений, а также на дифференциальных уравнений n-го порядка.

3. Повышение точности результатов

Точность можно повысить путем уменьшения значения шага h. Но этот путь ограничен требованием экономичности, поскольку это может потребовать огромного объема вычислений.

На практике часто для повышения точности численного решения без существенного увеличения машинного времени используется метод Рунге. Его суть состоит в том, что по одной и той же разностной схеме проводятся повторные расчеты с различными шагами. В соответствие с методом Рунге уточненное значениесеточной функции в узлах сетки с шагомhвычисляется по формуле.

Порядок точности этого решения равен (k + 1), хотя используемая разностная схема имеет порядок точностиk, т.е. точность повышается на порядок.

– 135–