1.3. Приближенные числа и оценка их погрешностей

При численном решении задач приходится оперировать двумя видами чисел – точнымииприближенными. К точным числам относятся числа, которые дают истинное значение исследуемой величины. К приближенным относятся числа, близкие к истинному значению, причем степень близости и определяетсяпогрешностью вычислений.

Результатами вычислений являются, как правило, только приближенные числа. Поэтому для указания области неопределенности результата вводятся некоторые специальные понятия, широко используемые при подготовке исходных данных или (и) оценке погрешности численных решений.

Если х– точное, вообще говоря, неизвестное значение некоторой величины, аа– его приближение, то разностьх–аназываетсяошибкой, илипогрешностью приближения. Часто знак ошибких –анеизвестен, поэтому используется так называемаяабсолютная погрешность(Х) приближенного числаа, определяемая равенством

(Х) = |х –а | , (1)

откуда имеем

х = а (Х). (2)

Изучаемая числовая величина хименованная, т.е. определяется в соответствующих единицах измерения, например, в сантиметрах, килограммах и т.п. Погрешность (1) имеет ту же размерность.

Однако часто возникает необходимость заменить эту погрешность безразмерной величиной – относительной погрешностью. При этом из-за незнания точного значения изучаемой величины принято называть относительной погрешностью величину

. (3)

Относительную погрешность часто выражают в процентах: 100% . Это погрешность на единицу измеряемой физической величины. Она сопоставима в идентичных экспериментах, т.е. характеризует качество измерения. А именно, точность результата лучше характеризуется его(Х), так как абсолютная погрешность(Х) не достаточна, к примеру, для характеристики качества измерения двух стержнейl₁= 100,8 см ± 0,1 см иl₂= 5,2 см ± 0,1 см. Очевидно, что качество измерения первого значительно выше.

В связи с тем, что точное значение х, как правило, неизвестно, то формулы (1)–(3) носят сугубо теоретический характер.

Для практических целей вводится понятие предельной погрешности.Предельная абсолютная погрешность а– это верхняя оценка модуля абсолютной погрешности числах, т.е.

| х|a.

При произвольном выборе, а всегда стремятся каким-либо образом взятьнаименьшим.

Истинное значение числа хбудет находиться в интервале с границами (а –а) – с недостатком и (а +а) – с избытком, т.е.

( а – а )х(а + а ) .

Условились для приближенных чисел по результатам округлений в качестве апринимать единицу или 1/2 единицы оставленного разряда числа. Первое условие называют погрешностью в «широком» смысле, второе в «узком» смысле.

Пример для второго условия:

а	51,7	–0,0031	16	16,00
а	0,05	0,00005	0,5	0,005

Предельная относительная погрешность также может выражаться в процентах. При локальных ручных расчетах, и на этапе подготовки исходных данных существуют определенные правила оценки предельных погрешностей дляарифметических операций(формулы – (4)):

;;

;;

(а b) =а +b;

(а b) =a b[(а) +(b)] =bа +ab;

;

;

где – предельная абсолютная погрешность;

 – относительная предельная погрешность;

m– рациональное число.

Следует отметить, что приведенные оценки погрешностей приближенных чисел справедливы, если в записи этих чисел все «значащие» цифры «верны». Определение этих понятий рассмотрим ниже.