4. Метод Рунге-Кутта
На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Идея его реализации стоит в подгонке ряда Тейлора при разложении искомой функции y =y(x) в окрестностях узлов сетки в плане повышения точности этого разложения, а именно, увеличение числа производных высшего порядка без их непосредственного определения из-за сложности аналитических выражений полных производных поxот функцииf(x,y).
Рассмотрим наиболее широко применяемую на практике разностную схему четвертого порядка.
Ее алгоритм состоит в следующем:
(22)
где 
;
;
;
.
В данной расчетной схеме Рунге-Кутта на каждом шаге вычисления yiнужно 4-е раза обратиться к правой части уравненияf(x,y), т.е. метод Рунге-Кутта (22) требует бóльшего объема вычислений, однако это окупается повышенной точностью, что позволяет проводить расчет с большим шагом.
Можно показать, что метод Эйлера и его модифицированный вариант является аналогом метода Рунге-Кутта первого и второго порядка, однако для достижения одинаковой точности у них шаг расчета будет значительно меньше.
Для данного метода шаг расчета можно менять при переходе от одной точке к другой. Для контроля правильности выбора шага hрекомендуется вычислять дробь
.
Величина Qне должна превышать нескольких сотых. В противном случаеhследует уменьшать.
Оценка погрешности метода затруднительна.
Чаще всего используется грубая оценка
погрешности по формуле
,
гдеy(xn)
– значение точного решения уравнения
(4) в точкеxn,
аy
,yn– приближенное решение, полученное с
шагомh/2 иh.
При реализации (на ЭВМ) метода Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага, обычно в каждой точке xiи делают двойной просчет сначала с шагомh, потом сh/2. Если полученноеyiпри этом различается в пределах допустимой точности, то шагhдля следующей точкиxi+1удваивают, в противном случае берут половинный шаг.
В заключении следует отметить, что одношаговые методы Рунге-Кутта успешно могут быть применены к решению систем ДУ первого порядка.
8.3.2. Многошаговые методы решения задачи Коши
В данном случае построение разностных расчетных схем (11) основано на том, что для определения yi+1используются результаты не одного, аkпредыдущих шаговyi–k+1,yi–k+2,...,yiв данном случае этоkшаговый метод.
Многошаговые методы могут быть построены следующим образом. Исходное уравнение (4) для задачи Коши запишем в виде dY(x) =f(x,y)dx. Проинтегрируем обе части этого соотношения на отрезке [xi,xi+1].
Из левой части получаем
,
(23)
где yi+1,yi– сеточные значения искомой функции. Для вычисления интегралов правой части сначала построим интерполяционный многочленPk–1(x) степени (k – 1) для функцииf(x,Y) на этом отрезке по значениямf(xi–k+1,Yi–k+1),f(xi–k+2,Yi–k+2), ...,f(xi,Yi). Тогда
. (24)
Приравнивая (23) и (24) получает формулу для определения неизвестного значения сеточной функции yi+1в узлехi+1
.
(25)
На основе (25) можно строить различные многошаговые методы любого порядка точности. Порядок точности при этом зависит от степени Pk–1(x), для построения которого используются значения сеточной функцииyi,yi–1,...,yi-k+1, вычисленные наkпредыдущих узлах.
На практике широко используются следующие многошаговые методы.