2. Интерполяционный многочлен Ньютона для системы произвольно расположенных узлов

Данный многочлен строится с помощью аппарата разделенных разностей (табл. 2) в виде (17) на основании имеющего места соотношения (21)

N_n(x) =f(x₀) + (x–x₀)f(x₀,x₁) + (x–x₀)(x–x₁)f(x₀,x₁,x₂) +…+

+ (x–x₀)(x–x₁)…(x–x_n–1) f(x₀, x₁,…, x_n) (27)

Здесь, как и раньше, N_n(x_k) =f(x_k), (k = 0, 1, 2,…,n).

Остаточный член

R_n(x) =f(x) –N_n(x) =f(x,x₀,x₁,…,x_n) (x–x₀)(x–x₁)… (x–x_n).

При n = 1 – это линейная интерполяция, приn = 2 – квадратичная.

Замечания

1. Разные способы построения многочленов Лагранжа и Ньютона дают тождественные рабочие формулы при заданной таблице f(x). Это следует из единственности интерполяционного многочлена заданной степени на упорядоченной системе узлов.

2. Повышение точности интерполирования предположительно проводить за счет увеличения числа узлов nи соответственно степени полиномаP_n(x). Однако при таком подходе увеличивается погрешность из-за роста |f ⁽ⁿ⁾(x) | и, кроме того, увеличивается вычислительная погрешность.

Эти соображения приводят к другому способу приближения функций с помощью сплайнов (будет рассмотрено дальше).

3. Повышение точности интерполирования осуществляется и посредством специального расположения узлов интерполяции на рассматриваемом отрезке [a,b] области определения функцииf(x). Известно, что если сконцентрировать узлыx_iвблизи одного конца отрезка [a,b], то погрешностьR_n(x) при длине отрезкаl=b–a> 1 будет велика в точкахx_iблизких к другому концу. Поэтому всегда возникает задача о наиболее рациональном выбореx_i (при заданном числе узлов n).

Эта задача была решена Чебышевым, т.е. оптимальный выбор узлов нужно производить по формуле:

x_i =,

где (i= 0,1,2, ...,n) – есть нули полинома ЧебышеваT_n+1(x).

Пример. Найти значениеy =f(x) приx = 0,4 заданной таблично:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

3. Локальная интерполяция

3.1. Линейная интерполяция

y = a_ix + b_i

a_i = (y_i – y_i–1)/(x_i – x_i–1), b_i = y_i–1 – a_ix_i–1.

x_t = 0,4; 0,3  x_t 0,5; x_i–1 = 0,3; x_i = 0,5

y_i–1 = 0,2; y_i = 1

a₃ = (1 – 0,2)/(0,5 – 0,3) = 0,8/0,2 = 4;b₃ = –1;

y = 4x–1, приx = 0,4;y= 40,4 – 1 = 0,6. (28)

3.2. Квадратичная интерполяция

y=a_ix²+b_ix+c_i

Выбираем три ближайшие точки к x_t = 0,4

x_i–1 = 0,1; x_i = 0,3; x_i+1 = 0,5.

y_i–1 = 0; y_i = 0,2; y_i+1 = 1.



A = ;=;==A^–1.

Найдем A^–1 = ;

= = ;

a = 0 – = 7,5;b = –2; c = 0,125;

y = 7,5x² – 2x + 0,125; приx = 0,4;y = 0,525. (29)

4. Глобальная интерполяция

4.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа

L(x) = ;

при x= 0,4;yL(x) = 0,3999.

Найдем выражение для полинома Лагранжа для данной таблицы при n=1 и дляx_T= 0,4;

это соответствует (28).

Для n = 2 приx_T = 0,4y L(x) =

Для рассматриваемого интервала [x₁,x₃], беремx₀ = 0,1;x₁ = 0,3;x₂ = 0,5;y₀ = 0;y₁ = 0,2;y₂ = 1. Тогда

y L(x) = 0,2;

что соответствует (29).

Алгоритм расчета интерполяционного многочлена Лагранжа, реализованный в виде функции PLс параметрами:

x_T– значение текущей точки;

,– одномерные массивы известных значенийxиf(x);

n – размер массивов,;

представлен на рис. 5.1.

В схеме введены следующие обозначения:

p– значение накапливаемой суммы, результат которой равенL(x_Т);

e– значение очередного члена произведения;

Результатом функции PLявляется значениеp.

Рис. 5.1. Схема расчета интерполяционного многочлена Лагранжа