1. Интерполяционный многочлен Ньютона для системы равноотстоящих узлов

В случае равностоящих узлов имеется много различных формул, построение которых зависит от расположения точки интерполирования х_Тпо отношению к узлам интерполирования.

Пусть функция f(x) задана таблицей значенийf_k =f(x_k) =y_kв узлахx_k=x₀+kh(k= ),h=x_k+1 –x_k =const.

На основании условий (3) и аппарата конечных разностей для определения коэффициентов для искомого многочлена (17) получена формула

,k= ; при условии, что⁰= 1; 0! = 1. (22)

Подставляя (22) в (17) получим формулу Ньютона для интерполирования в начале таблицы

(23)

При этом конечные разности определяются или по схеме (табл.1) или по формуле для произвольного узла (19).

Для практического удобства формула (23) часто записывают в другом виде. Вводится новая переменная t= (x–x₀)/h. Тогда имеем:

x=x₀ +kh; ;

, …,;

и (23) примет вид

N(x₀ +th) =y₀ +t. (24)

Выражение (24) может аппроксимировать y =f(x) на всем отрезке [x₀,x_n]. Однако, с точки зрения повышения точности расчетов, и уменьшения числа членов в (24), рекомендуется ограничиться случаемt < 1, т.е. использовать формулу (24) для интервалаx₀ x x₁. Для других значений аргумента, например, дляx₁ x x₂, вместоx₀лучше взять значениеx₁. Тогда (24) можно записать в виде

N(x_i+th) =y_i+ ;i = 0,1,… (25)

Выражение (25) называется первыминтерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед. Он используется для вычисления значений функций в точках левой половины рассматриваемого отрезка. Это объясняется тем, что разности^ky_iвычисляются через значение функцииy_i,y_i+1, ...,y_i+k, причемi +k n. Поэтому при больших значенияхiнельзя вычислить значения разностей высших порядков (k n –i). Например, приi =n – 3 в (25) можно учесть толькоy,²y,³y.

Для правой половины отрезка разности рекомендуется вычислять справа налево. В этом случаеt = (x –x_n) /h, т.е.t < 0 и (25) можно получить в виде

N(x_n + th) = y_n + . (26)

Полученная формула называется вторыминтерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад. Для интерполирования в средине отрезка можно использовать интерпретации многочлена Ньютона – это многочлены Стирлинга, Гаусса, Бесселя.

Погрешность метода Ньютона:

,

при t=,– принадлежит отрезку.

Рассмотрим пример. Вычислить значение функцииy =f(x), заданной таблицей в точкахx = 0,1 иx = 0,9. Строим таблицу 1 для конечных разностей

x	y = f(x)	у	^2у	^3у	^4у	^5у
0	1,2715
		1,1937
0,2	2,4652		–0,0146
		1,1791		0,0007
0,4	3,6443		–0,0139		–0,0001
		1,1652		0,0006		0,0000
0,6	4,8095		–0,0133		–0,0001
		1,1919		0,0005
0,8	5,9614		–0,0128
		1,1391
1	7,1005

Используя для расчета верхние значения конечных разностей, получим при x = 0,1 значениеt = (x –x₀)/h = (0,1 – 0) / 0,2 = 0,5. По формуле (24) получим

f(0,1) N(0,1) = 1,2715 + 0,5

 1,1937+

+ .

По формуле линейной интерполяции f(0,1)1,8684;= {0,0018}.

Значение функции в точке x = 0,9 вычислим по формуле (26). В данном случаеt = (x –x_n) /h = (0,9 – 1) / 0,2 = –0,5. Используя нижние значения конечных разностей, получим

f(0,9)N(0,9) = 7,1005 – 0,51,1391 –

–

–.

Если считать по (24) f(0,9) = 6,532522641.

Линейная интерполяция f(0,9) = 6,53095;= {0,00155}.