§ 2. Метод сведения функционального уравнения к известному уравнению с помощью замены переменной и функции
Рассмотрим определённые типы функциональных уравнений, которые можно свести к уравнениям, общие решения которых мы уже знаем. Как правило, такие уравнения сводятся к основным уравнениям Коши (4) – (7). Метод основан на введении вспомогательной функции, которую следует подобрать таким образом, чтобы после преобразований было ясно, что она удовлетворяет одному из известных функциональных уравнений.
Пример 2. Найти все непрерывные функции f (x), определенные на промежутке (0;∞), для которых разность f (x1y) – f(x2y) при произвольных допустимых значениях х1 и х2 не зависит от у.
Решение. По условию, выражение f (ху) – f (у) (хг = х, х2 = 1) не зависит от у, Поэтому
f(xy) – f(y) = f(x) – f(1).
Положив g (х) = f (x) — f (1), получим функциональное уравнение Коши
g(xy) = g(x) + g(y).
Известно, что в классе непрерывных функций g (x) = сlnх. Отсюда f (х) = cln x+b, где b = f(1). Проверка показывает, что условию задачи удовлетворяют функции f (х) = сln х + b при произвольных b и с.
Рассмотрим
пример, считая х1
и
х2
различными
фиксированными числами. Так как f
(х1y)
– f
(х2у)
не
зависит от у,
то
f
(х1y)
– f
(х2у)
= с. Пусть
х2у
=
х,
тогда
f(ах)
= f
(x)+c,
где
,а
>
0, с — постоянная. Заменив х
на
ех,
получим
Вычитая из обеих
частей
,
получим
,
или g(x + lna) = g(x), (2.1)
где
.
Уравнению
(2.1) удовлетворяют периодические с
периодом lnа
функции. Отсюда
При
проверке убеждаемся, что функции вида
f(х)
=
g(ln
x)
+ αlnx,
где α
– произвольная константа, а g(х)
–
непрерывная периодическая с периодом
функция,
обладают
требуемым свойством.
Пример 3. Известно, что сложение действительных чисел обладает сочетательным свойством:
(х + у) + z = х + (у + z)
для
любых х, y,
z
R.
Требуется найти все непрерывные функции
f(х),
«сохраняющие»
сочетательность, т. е.
f(х + у) + f(z) = f(х) + f(у + z) (2.2)
Решение. Перепишем (2.2) в виде
f(х + у) – f(x) = f(у + z) – f(z)
Легко видеть, что левая часть не зависит от х, т. е.
f(х + у) – f(x) = g(y)
При х = 0 имеем f(у) = g (у) + а, а = f(0). Пришли к функциональному уравнению Коши
.
Его непрерывным решением являются функции g(х) = сх. Таким образом, f (х) = сх + а, где а и с — произвольные константы.
Пример 4. Найти плоские кривые, обладающие следующим свойством: для произвольных двух точек сумма произведений абсциссы одной точки на ординату другой равна ординате точки, абсцисса которой равна произведению абсцисс данных точек.
Решение. Ограничимся отысканием кривых, являющихся графиками непрерывных функций, определенных при положительных значениях аргумента.
Задача сводится к решению функционального уравнения
Пусть
.
Тогда получим одно из уравнений Коши
вида
.
Так как
g (x)
непрерывна
при
х
> 0,
то
.
Отсюда
с произвольной
константой с.
Пример 5. Найти непрерывные решения функционального уравнения
Решение. В качестве вспомогательной функции здесь удобно считать следующую функцию:
Тогда подставляя в исходное уравнение f(x) = g(x) +x2, получим
g(x+y) = g(x) + g(y)
Это уравнение Коши его решением является функция g(x) = ax.
Окончательно находим
f(x) = x2 + g(x) = x2 + ax
и все такие функции удовлетворяют условию.
Пример 6. Решить уравнение Йенсена в классе непрерывных функций
,
Решение. Положим в уравнении (x+y) вместо x и 0 вместо y, получим:
,
Сравнивая полученное соотношение с первоначальным функциональным уравнением, имеем:
f(x+y) + c = f(x) + f(y)
Это уравнение переходит в уравнение Коши (4) при подстановке
g(x) = f(x) - a,
тогда
g(x) = ax, f(x) = ax + c,
а это решение действительно удовлетворяет уравнению Йенсена.
Пример 7. Найти все непрерывные функции f: (0, +∞) → R, удовлетворяющие тождеству
f(xy) ≡ xf(y) + yf(x).
Решение. Поделив тождество на xy, перепишем его так:
отсюда ясно, что в качестве вспомогательной нужно взять функцию:
Тогда функция g удовлетворяет (6). Поэтому находим f(x) = x logax.