Заключение
В данной работе были рассмотрены функциональные уравнения и некоторые способы их решения. В ходе работы мы убедились, что функциональные уравнения – это общий класс уравнений, в которых искомой является некоторая функция. К функциональным уравнениям по существу относятся дифференциальные уравнения, интегральные уравнения, уравнения в конечных разностях. Под функциональным уравнением в узком смысле слова понимают уравнения, в которых искомые функции связаны с известными функциями одного или нескольких переменных при помощи операции образования сложной функции. Функциональное уравнение можно также рассматривать как выражение свойства, характеризующего тот или иной класс функций.
Функциональные
уравнения имеют большое применение.
Так, например, в теории аналитических
функций часто применяются для введения
новых классов функций. Например,
двоякопериодические функции характеризуются
функциональными уравнениями f(z
+ а) = f(z) и
f(z
+ b) = f(z).
Если функция известна в некоторой
области, то знание для неё функционального
уравнения позволяет расширить область
определения этой функции. Например,
функциональное уравнение f
(x + 1) = f (x) для
периодических функций позволяет
определить их значение в любой точке
по значениям на отрезке [0, 1]. Этим часто
пользуются для аналитического продолжения
функций комплексного переменного.
Например, пользуясь функциональным
уравнением Г
(z + 1) = zГ (z)
и зная значения функции Г (z) (Г (z) –
Гамма-функция) в полосе 0
Rez
1,
можно продолжить её на всю плоскость
z.
Условия симметрии, имеющиеся в какой-либо физической задаче, обусловливают определённые законы преобразования решений этой задачи при тех или иных преобразованиях координат. Этим определяются функциональные уравнения, которым должно удовлетворять решение данной задачи. Значение соответствующих функциональных уравнений во многих случаях облегчает нахождение решений.
Список литературы
Андреев А.А., Кузьмин Ю.Н.., Савин А.Н., Саушкин И.Н. Функциональные уравнения. – Самара: В мире науки, 1999
Бродский Я. С., Слипенко А. К. Функциональные уравнения. – К.: Вища школа. Головное издательство, 1983. – 96 с
Ильин В.А. Методы решения функциональных уравнений // Соросовский образовательный журнал, 2001, № 2, с. 116 – 120
Лихтарников Л.М. Элементарное введение в функциональные уравнения.– СПб.: Лань, 1997. – 160 с
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В 3-х томах: том 1. – М.: Наука, 1968, c. 157 – 162