§ 5. Применение теории матриц к решению функциональных уравнений

Под знаком неизвестной функции могут стоять дробно-линейные выражения вида . Такие дроби полностью определяются заданием матрицы, составленной из коэффициентовa, b, c, d.

Пример 15. Найти функцию f, определенную при

и удовлетворяющую уравнению

(5.1)

Решение. Отыщем подстановку, переводящую выражения, стоящие под знаком неизвестной функции f в уравнении (5.1), друг в друга.

Для этого положим . Отсюда

.

Кроме того, .

Следовательно, подстановка – искомая. Уравнение (5.1) примет вид

. (5.2)

В уравнении (5.1) Подстановкапереводит точкисоответственно в точки. Кроме того, из характера подстановки вытекает . Поэтому в уравнении (5.2) . Область допустимых значений х в системе, составленной из уравнений (5.1) и (5.2), является пересечением соответствующих областей каждого из уравнений (5.1) и (5.2), т. е.. Исключая из этой системы, получим

Обозначив , получим . Из условия получаем, а также, что определяется видом подстановки.

Подстановка дает. Итак, функцияс областью определенияявляется решением примера 15, что и подтверждается проверкой. Сужение области определения искомой функции удалением точеквызвано методом решения уравнения. Несложные вычисления показывают, что функция,, удовлетворяет исходному уравнению.

В самом деле, полагая в (5.1) , получим.

Значения функции ,, в точкахи 1 соответственно равныи удовлетворяют приведенному соотношению.

Более того, решение уравнения (5.1) в классе функций таких, что имеет вид

Уравнение (5.1) решено, так как найдена подстановка переводящая дробно-линейные функции и , получим друг в друга. На языке матриц это означает, что найдена матрицатакая, чтоАХ = kB; BX =lA, где

.

Возникает вопрос, для любых ли дробно-линейных функций существует аналогичная подстановка; другими словами, для любых ли матриц А и В существует матрица X, удовлетворяющая уравнениям

АХ = kВ, (5.3)

ВХ = lА (5.4)

при некоторых k, l, отличных от нуля.

Предполагая, что такая матрица существует, из уравнений (5.3) и (5.4) получим: (lА)X = (lk)В, (ВХ)X = (lk)В,

BX² = (lk)B (5.5)

Предположим, что функции, соответствующие матрицам А и В, отличны от констант. Тогда, как показано выше, для А и В существуют обратные матрицы. Умножим обе части равенства (5.5) слева на В^-1. Получим

B^-1BX²= B^-1lkB; EX² = (lk)E; X² = mE, где m=lk

Найдем общий вид матрицы такой, что, т.е.

,

при некотором m ≠ 0. Заметим, что х₁x₄ – х₂х₃ ≠ 0. Из правила умножения и условия равенства матриц имеем:

Вычитая из первого уравнения четвертое, получим т. е., либо.

Если , то= 0 и =0, что приводит к матрицам вида или. Если жето придем к матрице

Проверкой убеждаемся, что матрицы Х₂ и Х₃ удовлетворяют уравнению X²=mЕ при некотором m. Матрица Х₃ при х₁ = 0 дает X₁.

Итак, матрицы вида ии только они удовлетворяют уравнениюX² = mE, m ≠ 0. Из (5.4) имеем X = lВ^-1А. Поэтому, если матрица В^-1А имеет вид Х₂ или Х₃, то она удовлетворяет каждому из уравнений (5.3), (5.4).

Теперь изложим один из способов решения функционального уравнения вида

(5.6)

где s(x), t(x), р (х) — некоторые данные функции,

Решая матричное уравнение вида А = ВХ, где ,, получимX = В^-1А,

Если матрица X имеет вид , то подстановкав (5.6) даст второе уравнение относительно неизвестных

,

Если полученная система имеет решение, то из нее найдем выражение для .Последнее дает возможность найти f(x). Как обычно, обязательной частью решения является проверка. Случай тривиален,А = х₁В, т. е. выражения, стоящие в (5.6) под знаком f, совпадают.

Пример 16. Найти функцию f, определенную при , удовлетворяющую уравнению

(5.7)

Решение. Решаем матричное уравнение AХ = В, где ; . Для матрицы A обратной является матрица . Тогда. МатрицаX имеет вид , поэтому применим к уравнению (5.7) подстановку. Последнюю удобно выполнять с помощью матриц. Правой части уравнения (5.7) соответствует матрица. Применение к ней подстановкиравносильно умножениюсправа на. В результате получим. Таким образом, из уравнения (5.7) находим

(5.8)

Исключив из системы, составленной из уравнений (5.7) и (5.8) имеем

(5.9)

Из (5.7) видим, что . Подстановка сохранила эти ограничения. Кроме того,.

Положим . Так как , то. Отсюда. Заменяя, из (5.9) получим

.

Проверка показывает, что эта функция удовлетворяет условию задачи: