3.7. Апериодическое звено второго порядка

Звено относится к группе позиционных звеньев и описывается урав­нением

. (3.39)

При этом корни характеристического уравнения

(3.40)

должны быть вещественными, что будет выполняться при условии Т₁≥ 2 Т₂.

Левая часть уравнения (3.39) разлагается на множители

, (3.41)

где

. (3.42)

Передаточная функция звена

. (3.43)

Из последнего выражения видно, что апериодическое звено второго порядка эквивалентно двум апериодическим звеньям первого порядка, включенным последовательно друг за другом, с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т₃и Т₄.

Примеры апериодических звеньев второго порядка приведены на рис. 3.15. Рассмотрим подробно случай двигателя постоянного тока (рис. 3.15, в). При отсутствии момента нагрузки на валу и при учете переходных процессов в цепи якоря динамика двигателя описывается двумя уравнениями, соответствующими закону равновесия эдс в цепи якоря

(3.44)

и закону равновесия моментов на валу двигателя

, (3.45)

где С_Еи С_М – коэффициенты пропорциональности между противо эдс и скоростью вращения и между вращающим моментом и током якоря; J – приведенный момент инерции;Lи R – индуктивность и сопротивление цепи якоря.

Рис. 3.15. Апериодические звенья второго порядка

Решая уравнения (3.44) и (3.45) совместно, получим передаточную функцию двигателя постоянного тока при управлении напряжением якоря

, (3.46)

где электромеханическая постоянная времени

(3.47)

и электромагнитная постоянная времени якорной цепи

. (3.48)

Для того чтобы корни знаменателя в (3.46) были вещественными и передаточную функцию можно было представить в виде (3.43) , необходимо выполнение условия .

Переходная функция получается путем решения дифференциального уравнения (3.39) при x₁= 1(t) и нулевых начальных условиях, то есть приt= 0;x₂= 0 и

. (3.49)

Функция веса

. (3.50)

Временные характеристики звена изображены на рис. 3.16 (для определенности принято ).

Рис. 3.16. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) апериодического звена второго порядка

На переходной характеристике показано построение, позволяющее по экспериментальным данным определять постоянные времени Т₃и Т₄.

Частотная передаточная функция согласно (3.43), её модуль и фаза соответственно равны

; (3.51)

. (3.52)

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики показаны на рис. 3.17. На амплитудно-фазовой характеристике отмечены три характерные точки: ω= 0;.

Рис. 3.17. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) апериодического звена второго порядка

Построим теперь логарифмические характеристики (рис. 3.18). Для этой цели проведем вертикальные пунктирные прямые при сопрягающих частотах ₃= 1 /T₃и₄= 1 /T₄. Будем считать, чтоT₃>T₄и₃<₄.

ЛАХ определяется выражением

. .(3.53)

Для частот, меньших, чем сопрягающая частота ω₃(а значит и меньших, чем частота ω₄), будет справедливыми. Поэтому в этой области можно допуститьL()  20 lgk. Этому выражению соответствует прямая а–bна рис. 3.18.

Для частот ω₃< ω< ω₄будет справедливыми. Поэтому в этой области можно принятьL()  20 lg(k / T₃), чему соответствует прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек (прямаяb-с на рис. 3.18) (подразд. 3.4, п. 2).

Для частот имеем соответственнои, а такжеL()  20 lg(k / T₃T₄), чему соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек (прямая с–d на рис. 3.18) (см. подразд. 3.4, п. 3).

Ломаная линия а–b–с–d представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ показана пунктиром. Она будет расходиться с асимптотической ЛАХ в местах изломов на 3 дБ.

Рис. 3.18. ЛАХ и ЛФХ апериодического звена второго порядка

ЛФХ получается суммированием двух слагаемых (см. второе уравнение (3.52)). Каждое слагаемое дает фазовую характеристику, совпадающую с ЛФХ апериодического звена первого порядка (рис. 3.18). В результате суммирования получаем ЛФХ, ордината которой соответствует прии.