3.8. Идеальное интегрирующее звено

Звено описывается уравнением

. (3.54)

В операторной форме

. (3.55)

Или в другой форме записи , откуда и получилось название звена. В идеальном интегрирующем звене выходная величина пропорциональна интегралу по времени от входной или скорость изменения выходной величины пропорциональна входной величине звена.

Передаточная функция звена

. (3.56)

Такое звено является идеализацией реальных интегрирующих звеньев, часть которых будет рассмотрена ниже. Идеальным будет считаться такое звено, у которого можно пренебречь влиянием собственных переходных процессов.

Примеры интегрирующих звеньев приведены на рис. 3.19. Наиболее часто в качестве интегрирующего звена используется операционный усилитель в режиме интегрирования (рис. 3.19, а). Интегрирующим звеном является также обычный гидравлический демпфер (рис. 3.19,б). Входной величиной является здесь сила F, действующая на поршень, а выходной – перемещение поршня x.

Рис. 3.19. Идеальные интегрирующие звенья

Так как скорость движения поршня демпфера пропорциональна приложенной силе

, (3.57)

где S– коэффициент скоростного сопротивления, то его перемещение будет пропорциональным интегралу от приложенной силы по времени

. (3.58)

Передаточная функция демпфера

. (3.59)

Переходная функция идеального интегрирующего звена при х₁= 1(t) и нулевых начальных условиях

(3.60)

и функция веса

. (3.61)

Временные характеристики изображены на рис. 3.20.

Рис. 3.20. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) идеального интегрирующего звена

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза соответственно равны

w(j) = k/j;(3.62)

A() = k/;  = -90⁰при > 0;  = +90⁰при < 0. (3.63)

Частотные характеристики изображены на рис. 3.21.

Рис. 3.21. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) идеального интегрирующего звена

Амплитудная характеристика показывает, что звено пропускает сигнал тем сильнее, чем меньше его частота. При ω = 0 модуль . Амплитудно-фазовая характеристика для положительных частот сливается с отрицательной частью оси мнимых.

Построение ЛАХ выполняется по выражению

. (3.64)

Нетрудно видеть, что ЛАХ представляет собой прямую с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, пересекающую ось нуля децибел при частоте среза ω_ср= k. ЛФХ представляет собой прямую= –90⁰, параллельную оси частот.

3.9. Инерционное интегрирующее звено

Звено описывается дифференциальным уравнением:

(3.65)

или

. (3.66)

Передаточная функция звена

. (3.67)

Примером такого звена является двигатель постоянного тока, если в качестве входной величины рассматривать напряжение на якоре, а в качестве выходной – угол поворота вала двигателя.

Интегрирующее звено с замедлением можно представить как совокупность двух звеньев, включенных последовательно, – идеального интегрирующего и апериодического звена первого порядка.

Для нахождения переходной характеристики удобно передаточную функцию представить в виде суммы

, (3.68)

что позволяет представить решение дифференциального уравнения в виде суммы решения для идеального интегрирующего звена и решения для апериодического звена первого порядка, которые были рассмотрены ранее. В результате получаем переходную функцию звена при х₁= 1(t) и нулевых начальных условиях

(3.69)

и функцию веса

. (3.70)

Временные характеристики изображены на рис. 3.22. На характеристиках изображены построения, с помощью которых можно по экспериментальной характеристике определить параметры звена.

Частотная передаточная функция, её модуль и фаза равны соответственно

; (3.71)

(3.72)

Рис. 3.22. Переходная функция (а) и дельта-функция (б) инерционного интегрирующего звена

Амплитудная, фазовая и амплитудно-фазовая характеристики изображены на рис. 3.23. Из характеристик видно, что звено также пропускает сигналы тем сильнее, чем меньше их частота. В отличие от предыдущего звена фазовый сдвиг равен –90⁰только на очень низких частотах. С ростом частоты фазовый сдвиг.

Рис. 3.23. АФЧХ (а), АЧХ (б) и ФЧХ (в) инерционного интегрирующего звена

Построение ЛАХ выполняется по выражению

. (3.73)

Сначала проводится вертикальная линия (рис. 3.24), соответствующая сопрягающей частоте = 1/T. При частотах, меньших, чем сопрягающая, можно приближенно положить.

Рис. 3.24. ЛАХ и ЛФХ инерционного интегрирующего звена

Это будет аналогичная предыдущему звену прямая с отрицательным наклоном 20 дБ/дек, имеющая частоту среза ω_ср = k. Прямую можно провести в области малых частот до сопрягающей частоты (прямая а–b).

Правее сопрягающей частоты, то есть при частотах  > 1/T, выражение (2.73), можно пренебречь единицей по сравнению с. Поэтому вместо (2.73) можно принять приближенное выражение. Этому выражению соответствует прямая с отрицательным наклоном 40 дБ/дек. Поэтому правее точки b нужно провести прямую с наклоном 40 дБ/дек (прямая b–c). Ломанная прямая а–b–c представляет собой асимптотическую ЛАХ. Действительная ЛАХ (показана пунктиром) будет иметь наибольшее отклонение от асимптотической в точке b, то есть при сопрягающей частоте. Ошибка в этой точке будет составлять 3 дБ, то есть в линейном масштабе ошибка амплитуды будет враз меньше. По мере удаления от сопрягающей частоты влево и вправо действительная ЛАХ будет сливаться с асимптотами, то есть прямыми а–b и b–с.

ЛФХ строится суммированием постоянного фазового сдвига ₁= –90⁰и переменного фазового сдвига₂= –аrctg ωТ. При сопрягающей частоте имеем₂= –45⁰и = ₁+ ₂= –135⁰.

Из логарифмических характеристик видно, что звено приближается к идеальному интегрирующему звену при частотах, меньших сопрягающей, и тем точнее, чем меньше рабочая частота по сравнению с сопрягающей.