Контрольные вопросы

1. Дайте понятие типового динамического звена и передаточных функций.

2. Назовите временные характеристики звеньев.

3. Назовите частотные характеристики звеньев.

4. Назовите логарифмические частотные характеристики звеньев.

5. Опишите безинерционное звено и его характеристики.

6. Опишите апериодическое звено первого порядка и его характеристики.

7. Опишите апериодическое звено второго порядка и его характеристики.

8. Опишите идеальное интегрирующее звено и его характеристики.

9. Опишите инерционное интегрирующее звено и его характеристики.

10. Опишите идеальное дифференцирующее звено и его характеристики.

11. Опишите реальное дифференцирующее звено и его характеристики.

12. Опишите неустойчивое звено и его характеристики.

4. Составление и анализ исходных дифференциальных уравнений Систем Автоматического регулирования

4.1. Общий метод составления исходных уравнений

Системы автоматического регулирования в большинстве случаев являются сложными устройствами, динамика которых описывается совокупностью дифференциальных уравнений. Для получения этой совокупности необходимо составить дифференциальное уравнение для каждого элемента автоматической системы так, чтобы общее число уравнений было не меньше, чем число независимых обобщенных координат, определяющих состояние системы.

При составлении дифференциального уравнения каждого элемента необходимо прежде всего выявить физический закон, определяющий его поведение. Таким законом может быть, например, закон сохранения вещества (объекты регулирования уровня, давления); закон сохранения энергии (объекты регулирования температуры); закон равновесия моментов (объекты регулирования скорости или угла поворота); закон равновесия электродвижущих сил (электрические цепи) и другие основные законы физики.

Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением данного элемента автоматической системы.

Для электродвигателя закон равновесия моментов на его валу может быть записан в следующем виде:

, (4.1)

где J и Ω – приведенный момент инерции и угловая скорость двигателя; М_В– вращающий момент двигателя; М_Т– тормозной момент внешних сил (момент нагрузки).

После записи дифференциального уравнения необходимо определить факторы, от которых зависят переменные, входящие в это уравнение.

Необходимо установить, от каких величин, какими выражениями определяются вращающий момент двигателя М_Ви тормозной момент М_Тна его валу. Нужно также выяснить, является ли приведенный момент инерции постоянной величиной или он изменяется в функции какой-то переменной (например в функции угла поворота двигателя).

Так, например, если исследуется двигатель постоянного тока с параллельным возбуждением, то вращающий момент будет пропорциональным произведению постоянного потока Ф = соnst и тока якоря І_Я

. (4.2)

Момент нагрузки может быть постоянным или зависеть от какой-то величины, например, от скорости вращения двигателя, его угла поворота, времени и т.д. Так, если момент пропорционален квадрату скорости (вентиляционная нагрузка) М_Т= k Ω², то при постоянстве приведенного момента инерции J = const уравнение (4.1) будет иметь следующий вид:

. (4.3)

Дальнейшим шагом является линеаризация полученных уравненийв соответствии рассмотренным далее методом, если линеаризация вообще является допустимой. Обычно достаточные признаки возможности производить линеаризацию заключаются в отсутствии разрывных, неоднозначных или резко изгибающихся характеристик и в справедливости уравнений в течение всего интервала времени регулирования.

После нахождения совокупности дифференциальных уравнений системы целесообразно для упрощения представить их в операторном виде и затем решать совместноотносительно интересующей величины. Обычно система уравнений решается относительно отклонения регулируемой величины от заданного значения (ошибки – x(t)) или относительно самой регулируемой величины Х(t).

Первый случай встречается чаще, так как исследование изменения ошибки, как правило, является более важным. В этом случае получается дифференциальное уравнение, которое иногда называется дифференциальным уравнением движения регулятора,

. (4.4)

Полином D(p) степениnоператорахарактеризует свободное движение регулируемого объекта с регулятором. Он называетсяхарактеристическим полиномоми может быть представлен в виде

, (4.5)

где а₀ – а_nв линеаризованной системе представляют собой постоянные коэффициенты.

Полином С(р) той же степени

, (4.6)

где С₀ – С_n– постоянные коэффициенты,определяют влияние управляющего воздействияY(t) на характер изменения ошибки х(t). Выражениетолько в случае программного регулирования и в следящих системах. В системах автоматической стабилизации. Поэтому всегда можно выбрать начало отсчета так, чтобы, что упрощает выражение (4.4).

Полиномы М_К(р)определяют влияние возмущающих воздействий F_K(t) на характер изменения ошибки х(t). Если для какого-то возмущающего воздействияполином, то система автоматического регулирования является инвариантной относительно этого воздействия.

Из (4.4) вытекает, что ошибка системы автоматического регулирования может быть представлена в виде суммы двух составляющих. Первая составляющая определяется наличием управляющего воздействия Y(t). Вторая составляющая определяется наличием возмущающих воздействий.

В системах автоматической стабилизации ошибка сводится только ко второй составляющей, то есть она определяется только наличием возмущающих воздействий.

При решении системы дифференциальных уравнений относительно регулируемой величины Х(t) получается так называемоеуравнение движения регулируемого объекта при наличии автоматического регулирования.

Это уравнение может быть получено в результате подстановки выражения для ошибки х(t) =Y(t) –X(t) в уравнение (4.4). В результате имеем:

, (4.7)

где полином В(p) определяется выражением

. (4.8)

Степень полинома B(p) –m, причем (m ≤ n)

. (4.9)

Как и ранее в системах автоматической стабилизации при Y(t) =constможно при соответствующем выборе начала отсчета получитьY(t) = 0, что упрощает выражение (4.7).

При заданных функциях времени в правой части дифференциальных уравнений (4.4) и (4.7) эти уравнения могут быть решены (проинтегрированы) относительно искомых функций времени, то есть может быть найдено изменение ошибки регулирования во времени х(t) из (4.4) и движение регулируемого объекта вместе с регулятором Х(t) – из (4.7).