Контрольные вопросы

1. Изложите методы построения кривой переходного процесса в САР.

2. Изложите общий метод построения кривой переходного процесса.

3. Сформулируйте понятие единичной трапецеидальной вещественной характеристики

4. Дайте определение и назовите назначение h-функций.

5. Как производится построение кривой переходного процесса по вещественной частотной характеристике?

7. Оценка качества регулирования

7.1. Общие положения

Качество работы любой системы регулирования в основном определяется величиной ошибки, равной разности между требуемым и действительным значениями регулируемой величины

. (7.1)

Знание мгновенного значения ошибки в течение всего времени работы регулируемого объекта позволяет наиболее полно судить о свойствах системы регулирования. Однако в действительности, вследствие случайности управляющего и возмущающего воздействий, такой подход не может быть реализован. Поэтому приходится оценивать качество системы регулирования по некоторым ее свойствам, проявляющимся при различных типовых воздействиях. Для определения качественных показателей системы регулирования в этом случае используются так называемые критерии качества.

В настоящее время разработано большое число различных критериев качества систем регулирования. Все их можно разбить на три группы.

К первой группеотносятся критерии, в той или иной степени использующие для оценки качества величину ошибки в различных типовых режимах. Эту группу называюткритериями точностисистем регулирования.

Ко второй группеотносятся критерии, определяющие величинузапаса устойчивости, то есть критерии, устанавливающие, насколько далеко от границы устойчивости находится система регулирования.

Почти всегда опасной для системы является колебательная граница устойчивости. Это определяется тем, что стремление повысить общий коэффициент усиления в системе, как правило, приводит к приближению системы именно к колебательной границе устойчивости и затем к возникновению незатухающих автоколебаний.

Третья группакритериев качества определяет так называемоебыстродействие системы регулирования на появление управляющих и возмущающих воздействий.

Разделение критериев на эти три группы является в известной мере условным. Так как в некоторых случаях нельзя провести четкой границы и отнести критерий качества полностью к той или иной группе.

7.2. Точность в типовых режимах

Для оценки точности системы регулирования используется величина ошибки в различных типовых режимах. Рассмотрим четыре наиболее распространенных режима.

1. Неподвижное состояние. В качестве типового режима рассматривается установившееся состояние при постоянных значениях управляющего и возмущающего воздействий. Ошибка системы в этом случае называетсястатической. Величина ошибки может быть найдена из общего выражения (4.15). Для этого необходимо, чтобыи т. д. Затем можно использовать изображения функции по Лапласу или Хевисайду – Карсону. В данном случае более просто применить изображения Хевисайда – Карсона, так как изображение постоянной величины равно ей самой, то естьи т. д. Потом необходимо воспользоваться теоремой о предельном переходе и получить установившееся значение ошибки (статическую ошибку)

. (7.2)

Первое слагаемое представляет собой составляющую статической ошибки, определяемую управляющим воздействием. Эта составляющая может быть отличной от нуля только при статическом регулировании. При астатическом регулировании она обращается в нуль. Однако в подавляющем большинстве случаев первое слагаемое (7.2) может быть обращено в нуль и в статических системах посредством соответствующего масштабирования или использования неединичных обратных связей. Поэтому практически первая составляющая статической ошибки всегда может быть принята равной нулю.

Второе слагаемое (7.2) никогда не обращается в нуль, так как даже использование регулирования с астатизмом высокого порядка может обратить в нуль лишь часть слагаемых, находящихся под знаком суммы.

При выводе выражения (7.2) было оставлено без внимания следующее обстоятельство. Предполагалось, что чувствительный элемент, определяющий разность между требуемым и действительным значениями регулируемой величины, является идеальным и определяет имеющуюся ошибку в соответствии с выражением (7.1). В действительности чувствительному элементу как измерительному органу присущи свои ошибки. Принципиально ошибку чувствительного элемента можно рассматривать так же, как некоторое возмущающее воздействие и считать, что она входит во второе слагаемое (7.2). Однако на практике удобнее эту ошибку рассматривать отдельно и считать, что статическая ошибка

, (7.3)

где – представляет собой второе слагаемое в выражении (7.2); – ошибка чувствительного элемента.

2. Движение с постоянной скоростью. В качестве второго типового режима используется движение системы с постоянной скоростьюV = const, которое будет наблюдаться в установившемся состоянии при уп­равляющем воздействии, изменяющемся по закону и при постоянных значениях возмущающих воздействий и т. д. Используя изображения Хевисайда – Карсона, имеем и т. д. Из общего выражения для ошибки (4.15) посредством теоремы о предельном переходе может быть найдена установившаяся ошибка в этом режиме

. (7.4)

Второе слагаемое этого выражения дает статическую ошибку (при условии, что возмущающие воздействия такие же, как в неподвижном положении системы), в которой может быть также учтена ошибка чувствительного элемента (7.3)

Первое слагаемое (7.4) имеет смысл только при астатизме первого порядка, то есть в том случае, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде

. (7.5)

Тогда выражение (7.4) приводится к виду

. (7.6)

Таким образом, в этом типовом режиме установившаяся ошибка будет слагаться из статической ошибкии добавочнойскоростной ошибки, равной отношению скорости к добротности системы по скорости

. (7.7)

Так как система может двигаться с различными скоростями, то качество ее удобнее характеризовать не самой скоростной ошибкой, которая является переменной величиной, а значением добротности по скорости

. (7.8)

В статических системах первое слагаемое (7.6) стремится к бесконечности, а при астатизме выше первого порядка – к нулю. Поэтому режим движения с постоянной скоростью используется для оценки точности только систем регулирования с астатизмом первого порядка, главным образом, следящих систем, для которых такой режим является характерным.

3. Движение с постоянным ускорением. В качестве третьего типового режима используется установившееся движение системы регулирования с постоянным ускорением а = const. В этом случае управляющее воздействие меняется по закону. Возмущающие воздействия принимаются постоянными, как и во втором типовом режиме.

Аналогично изложенному ранее, установившееся значение ошибки в этом режиме может быть найдено из выражения

. (7.9)

Второе слагаемое (7.9), как и ранее, дает статическую ошибку. Первое слагаемое (7.9) имеет смысл только при астатизме второго порядка, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде

. (7.10)

Тогда выражение (7.9) приводится к виду

. (7.11)

Первое слагаемое (7.11) представляет собой добавочную ошибку от постоянного ускорения. Как и в предыдущем случае, качество системы может быть оценено по величине добротности по ускорению

. (7.12)

Этот типовой режим используется только для систем регулирования с астатизмом второго порядка, главным образом, следящих систем.

4. Движение по гармоническому (синусоидальному) режиму.Такой режим используется весьма часто, так как он позволяет наиболее полно оценить динамические свойства системы регулирования. Управляющее воздействие принимается изменяющимся по закону

. (7.13)

В зависимости от конкретного вида системы регулирования, возмущающие воздействия в рассматриваемом режиме могут оставаться постоянными или меняться.

Случай постоянства возмущающих воздействий приводит, как и в рассмотренных ранее втором и третьем типовых режимах, к появлению некоторой постоянной ошибки х_cm.

Более вероятным является случай, когда возмущающие воздействия при движении системы в этом режиме меняются во времени. Это объясняется тем, что при движении по гармоническому закону непрерывно будет меняться направление движения системы, и, следовательно, одновременно будет меняться направление действующих в системе сил. Этот случай является довольно сложным, и он может рассматриваться только в приложении к конкретным системам регулирования. Поэтому рассмотрим ошибку, определяемую только первым слагаемым выражения (4.15)

. (7.14)

В линеаризованной системе при гармоническом управляющем воздействии (7.13) ошибка в установившемся режиме будет также меняться по гармоническому закону с частотой

. (7.15)

Точность системы в синусном режиме может быть оценена по амплитуде ошибки, которая может быть найдена из (7.14) на основании подстановки p = j_K

. (7.16)

Так как предполагается, что амплитуда ошибки значительно меньше амплитуды входного воздействия , то, следовательно, модуль знаменателя (7.16) значительно больше единицы. Это позволяет с большой точностью выражение (7.16) заменить приближенным

, (7.17)

где А(_K) – модуль частотной передаточной функции разомкнутой системы при = _K.

Последняя формула позволяет легко вычислять амплитуду ошибки в установившемся синусном режиме. Для этого необходимо располагать либо аналитическим выражением для передаточной функции разомкнутой системы, либо иметь экспериментально снятую амплитудную или амплитудно-фазовую частотную характеристику разомкнутой системы.

Формула (7.17) широко используется также при расчете системы методом логарифмических амплитудных частотных характеристик (ЛАХ) В этом случае модуль А(_K) в децибелах, то есть, равен ординате ЛАХ при частоте_K (рис. 7.1,а).

Рис. 7.1. ЛАХ разомкнутой САР

Простота выражения (7.17) позволяет легко решить обратную задачу, то есть сформулировать требования к ЛАХ, которые необходимо выполнить, чтобы амплитуда ошибки в синусном режиме была не больше заданной. Для этого необходимо по заданному значению амплитуды управляющего воздействия Y_max и допустимой амплитуде ошибки х_maxвычислить требуемое значение модуля частотной передаточной функции разомкнутой системы в децибелах

. (7.18)

Это значение модуля необходимо отложить на логарифмической сетке при частоте управляющего воздействия _K. Полученная точка А_K (рис. 7.1, б) обычно называется контрольной точкой для ЛАХ. Для того чтобы амплитуда ошибки в системе не превосходила допустимого значения х_max, ЛАХ должна проходить не ниже контрольной точки А_K. Если ЛАХ пройдет через эту точку, то амплитуда ошибки будет равна допустимому значению. Если ЛАХ пройдет ниже точки А_K, то ошибка будет больше допустимого значения.