3.ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

3.1Общие вопросы

Основоположником теории цепей с распределенными параметрами был

английский ученый Оливер Хевисайд. Работая в одно время телеграфистом, он обнаружил, что из Англии в Данию можно передавать телеграммы в два раза быстрее, чем обратно. Оказалось, что при передаче электрических импульсов на большие расстояния появляются новые физические явления.

Суть этих явлений заключается в том, что в простых электрических цепях активные и реактивные сопротивления проводов и оборудования принимали как сосредоточенными в одном месте. На самом деле величины, которые называются первичными параметрами, распределены по всей длине электрической цепи.

3.2Физическая природа первичных параметров

Вцепях с распределенными параметрами происходит следующее. Вокруг любого проводника с током возникает магнитное поле. Магнитный поток, создаваемый каждым элементом проводника пропорционален току. Так же как и прежде коэффициент пропорциональности (L) есть индуктивность элемента (Ф = L i). При этом:

L0	–	индуктивность на единицу длины прямого и обратного провода.
Электрические провода обладают электрическим сопротивлением;
R0	–	активное сопротивление на единицу длины прямого и обратного
провода.
Если		к линии приложено напряжение, то		заряд, находящийся	на
проводах,		пропорционален	напряжению (q =	C u). Коэффициент
пропорциональности (С ) есть			емкость между	проводами. В цепях	с
распределенными параметрами:
С0	–	емкость на единицу длины.
Несовершенство изоляции учитывается проводимостью между проводами:
G0	–	проводимость изоляции на единицу длины.

3.3Эквивалентная схема замещения цепи

сраспределенными параметрами

Рассмотрим	однородную	двухпроводную	линию	связи
электропередачи.	Возьмем бесконечно малый участок линии dx на расстоянии

39

хот начала. Величины сопротивлений такого участка определяются как

произведения сопротивлений на единицу длины на длину. уча

Эквивалентная схема замещения линии с обозначенными сопротивлениями приведена на рис. 3.1.

R0 dx	L0 dx	а	R0 dx	L0 dx	R0 dx	L0 dx
					в
			i	di		i + дi dx
	G0 dx	u	C0 dx			дх
						u + дu dx
				G0 dx
						дх
	x		dx
	Рис. 3.1. Цепь с распределенными параметрами

В начале участка протекает ток i . В конце участка ток получает приращение из-за утечек тока через изоляцию и заряда емкости

дi	dx ,	(3.1)

дх

где дi / дх – скорость изменения тока вдоль линии.

Аналогично напряжение получает приращение

дu	dx .	(3.2)

дх

Ток и напряжение зависят не только от времени, но и от расстояния.

Поэтому здесь используются частные производные. Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для замкнутого контура, образованного участком линии длиной dx , обойдя его по часовой стрелке:

u = iR

0

dx + L dx

дi

+ u +

дu

dx .

(3.3)

0

дt

дx

После сокращения и деления на dx получим

-

дu

= R

i + L

дi

.

(3.4)

дх

0

0 дt

40

По первому закону Кирхгофа для точки в

i = di + i +	дi	dx .	(3.5)
	дх

Ток di равен сумме токов, протекающих через проводимость G0 dx и

емкость C0 dx:

di = (u +	дu	dx)G dx +	д	C	dx(u +	дu	dx) .	(3.6)
	дх	0	дt	0		дх

После раскрытия скобок появляются слагаемые второго порядка малости

(dxdx), которыми можно пренебречь. После деления оставшихся членов на dx

получаем

-	дi	= G0u + C0	дu
				.	(3.7)
	дх		дt

Запишем вместе уравнения (3.4) и(3.7):

-		дu		= R i + L		дi
		дх
				0	0 дt
-	дi			= G0 u +C0			дu
									.
	дх						дt

Эти уравнения называются основными уравнениями цепи с

распределенными параметрами или телеграфными уравнениями Хевисайда, и

являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Они

связывают скорость изменения тока во времени с изменением напряжения от

расстояния, и скорость изменения напряжения во времени с изменением тока от

расстояния.

Дифференциальные уравнения имеют бесчисленное множество решений.

Конкретное решение может быть получено с использованием начальных(t = 0)

41

и граничных условий(значений тока и напряжения в начале или в конце

линии).

3.4 Решение основных уравнений

Приведенные выше уравнения справедливы для любых законов изменения приложенного напряжения. Однако для начала необходимо рассмотреть работу линии при синусоидальном напряжении, имеющем комплексное изображение:

u = U m sin( wt + y u ) → U& = Ue jy u .	(3.8)
Ток также изменяется по синусоидальному закону
i = I m sin(wt +y i ) → I& = Ie jy i .	(3.9)

Полученные комплексные выражения уже не являются функциями времени, а только расстояния. С учетом этого и используя правила дифференцирования комплексных выражений, основные уравнения запишутся в виде:

&				-	дU	= Z I&, (3.10)
- дU = R I& + jw × L I& ,
					&
		0	0			0
	дх				дх

	дI&	&		&		дI&
-		= C U + jw × L U					&
	дх	0	0	,	-		= Y0U , (3.11)
						дх

где R0 + jωL0 = Z0 – полное комплексное сопротивление на единицу длины,

G0 + jωC0 = Y0 – полная комплексная проводимость на единицу длины.

Решим систему уравнений(3.10) (3.11) относительно U . С этой целью продифференцируем уравнение (3.10) по х :

2 &			&
-	д U	= Z 0	дI	.
	дх2
			дх

(3.12)

Подставим правую часть уравнения (3.11):

42

2 &
д U	&
дх2	- Z 0 Y 0U = 0 .	(3.13)

Уравнение (3.13) представляет собой однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Его решение записывается как обычно в виде

&		p1x		-p2 x
				+ A2e ,	(3.14)
U = A1e
где p1 , p 2 – корни характеристического уравнения					p2 -Z0Y0 =0,
p1,2 = ±
	ZY

А1 , А2 – комплексные постоянные интегрирования, подлежащие определению через начальные условия.

Комплексное число

g = Z 0 Y 0

(3.15)

называют коэффициентом распространения; его можно представить в виде

γ = α + jβ ,

(3.16)

где a – коэффициент затухания; β – коэффициент фазы.

Ток найдем из выражения(3.10):

1

&

A1e

g ×x

- A2 e

-g ×x

I& = -

дU

= -

.

(3.17)

Z 0

дх

Z

0 / g

Отношение Z 0 / g = Z o /

=

, имеющее размерность

Z 0 Y 0

Z 0 / Y 0

сопротивления, обозначают ZВ и называют волновым сопротивлением:

Z в =

Z 0

=

R0 + jwL0

= zв e jjв ,

(3.18)

Y 0

G0 + jwC0

где zв – модуль; jв – аргумент волнового сопротивления.

Следовательно,

	I& = -	A1	eg ×x +	A2	e-g ×x .	(3.19)
		Z в		Z в

43