Другими словами, для скачкообразного изменения тока требуется нереально
бесконечно большое напряжение.
Аналогично, чтобы иметь скачок напряжения на конденсаторе нужно
иметь бесконечно	большой ток(i = C duC / dt). Из сказанного вытекают два
закона коммутации:
а) ток в индуктивности и его магнитный поток в первый момент после
коммутации равны значениям, имевшимся до коммутации.
б) напряжение на емкости и его заряд в первый момент после коммутации
равны значениям, имевшимся до коммутации.
Математически законы коммутации записываются следующим образом:
	iL (0_) = iL (0+) = iL (0),
	uС (0_) = uС (0+) = uС (0).
Законы коммутации используются для определения начальных условий
при расчете переходных процессов. Кроме			того,	принимаются	такие
допущения: после	каждой	коммутации	время	отсчитывается	от.	нуля
Считается, что сама коммутация происходит мгновенно.

1.2.Задача и порядок расчета переходных процессов

Расчет переходных процессов направлен на определение законов изменения токов и напряжений на элементах электрической цепи. Общий порядок расчета заключается в составлении дифференциальных уравнений и их решении с учетом начальных условий. Сложность расчетов заключается в сложности составления уравнений и их решении. Поэтому вся теория расчета переходных процессов заключается в рассмотрении конкретных примеров.

4

	1.3. Включение катушки на постоянное напряжение
			Согласно второму закону Кирхгофа по схеме
			(рис.1.2) можно записать уравнение для
R	i		послекоммутационной цепи:
E		L	iR + uL = E,	(1.1)
			где uL = L di / dt .
			С учетом последнего можно записать
Рис.1.2. Расчетная схема

		L	di	+ Ri = E .		(1.2)
			dt
Это есть дифференциальное уравнение первого порядка с правой частью,
т.е. неоднородное. Решение этого уравнения – зависимость тока от времени–
i(t). Оно записывается в виде суммы частного						решения неоднородного
уравнения и общего решения однородного уравнения:
			i = i’ + i’’ .			(1.3)
С точки зрения электротехники частное решение есть принужденная
составляющая,	общее	решение – свободная			составляющая. Принужденная
составляющая	iпр –	та составляющая тока, которая				установится после
окончания переходного процесса и полностью определяетсяисточником и
параметрами цепи. Свободная составляющая iсв					связана с изменением запасов
энергии в цепи (или их средних значений при переменном токе). Разделение на
составляющие – искусственный прием, на самом деле в ветви протекает один
суммарный ток
		i = iпр + iсв.				(1.4)

В данном случае принужденная составляющая определяется источником и активным сопротивлением: iпр = Е /R. Индуктивность на эту составляющую не

5

влияет, так как её сопротивление постоянному току равно нулю. Свободная составляющая записывается в виде:

iсв

= Aea t .

(1.6)

Окончательно решение дифференциального уравнения запишется в виде:

i = E /R + Aea t ,

(1.7)

где

А – постоянная интегрирования, подлежащая определению;

a – корень характеристического уравнения.

Как известно из математики, характеристическое уравнение получается

из

дифференциального

путем

замены

производной

какой-либо

буквой

(например,

a) в соответствующей степени. В данном случае:

La + R = 0; и a = – R / L .

Постоянная интегрирования определяется с учетом начального условия.

Само начальное условие определяется на основе закона коммутации. Так как до

коммутации цепь была разомкнута, то ток через индуктивность

был

равен

нулю. Поэтому в первый момент после коммутации, т.е. при t = 0 ток так же

был равен нулю. Тогда:

0 = Е / R + Aea 0 .

(1.8)

Откуда A = – E / R .

С

учетом

этого получаем закон

изменения

тока

через

индуктивность:

i =

E

-

E

e a t .

(1.9)

R

R

Это экспоненциальный закон. Напряжение на

индуктивности

определяется

через закон электромагнитной индукции:

u L = L

di

= -aL

E

eat

= Ee at .

(1.10)

dt

R

Величина,

обратная

корню

характеристического

уравнения

и

взятая с

положительным знаком, называется постоянной времени. Эта величина имеет

размерность времени и обозначается буквойτ. Она зависит

только

от

параметров цепи и определяет скорость протекания переходного процесса.

6

Изобразим

переходный

процесс

uL

графически.

Зададимся

значениями

времени t, кратными постоянной времени:

E

i

t = τ, 2τ, 3τ, 4 τ. Тогда величина (1– е-t/τ)

R

будет иметь значения 0,63, 0,86, 0,95, 0,98

0 1

2

3

4

t(τ)

соответственно. Графики изменения тока

и

напряжения

на

индуктивност

Рис. 1.3. Графики изменения тока

изображены

на

. рис1.3.

Ток

в

и напряжения

индуктивности

начинает изменяться

со

своего нулевого значения до установившегося. Из графика видно, что практически через (3…4)τ переходный процесс заканчивается. Напряжение на индуктивности претерпевает скачок от нуля до напряжения источника питания,

изатем спадает до нуля по экспоненциальному закону.

1.4.Включение конденсатора на постоянное напряжение

Схема включения конденсатора на постоянное напряжение приведена на
		рис.1.4. Предположим, что конденсатор
	R	был заряжен до напряжения uC(0) = UC0.
		По	второму	закону	Кирхгоф
i
		записываем уравнение:

E	C						iR + uC = E.			(1.11)
						Ток	и напряжение на			конденсаторе
						связаны соотношением
Рис.1.4. Схема подключения							iC = C	du C	.	(1.12)
	конденсатора							dt

С учетом этого получим уравнение:

CR	du C	+ u C = E .	(1.13)
	dt

7

Это неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка, решение которого записывается аналогично приведенному выше:

u C = u Cпр + Ae at .

(1.14)

В данном случае принужденное значение напряжения на конденсаторе равно напряжению источника. А – постоянная интегрирования, подлежащая определению с учетом начального условия, и a - корень характеристического уравнения

CRa +1 = 0 ,

(1.15)

из которого

a = -

1

.

(1.16)

RC

При t = 0 uC (0) = UC O, поэтому

U C 0 = E + Aea 0 , A= UC O – E .

Окончательно:

uC = E + (UC O – E) ea t .

(1.17)

Если начальное напряжение на конденсаторе

равно

,

нулюто последнее

выражение принимает вид:

uC = E – E ea t

= E(1 –

ea t).

(1.18)

Ток определяется как производная от напряжения:

iC = C

du c

= a CEe

a t

=

C

Ee

a t

=

E

e

a t

.

(1.19)

dt

RC

R

i

E			uC
0 1		2	3	4	t(τ)

Рис. 1.5. Графики изменения напряжения и тока конденсатора

Графики изменения тока и напряжения на
конденсаторе	при uC (0)=0 приведены				на
рис. 1.5.	Напряжение		конденсатора
изменяется	так	же		как		ток
индуктивности		от	своего		нулевого
значения	до	установившегося				по
экспоненциальному		закону.	Ток	сначала
так же претерпевает скачок, а затем уже
спадает до нуля.

8

1.5.Включение индуктивности на синусоидальное напряжение

Если в схеме(см. рис.1.2) источник постоянной э.д. .сзаменить источником синусоидальной э.д..с e = Emsin(w t + y), то можно записать аналогичное уравнение:

	L	di	+ Ri = E m sin( wt + y ) .	(1.20)
		dt

Это неоднородное уравнение первого порядка с тем же характеристическим уравнением с соответствующим корнем. Поэтому решение полученного уравнения можно записать по аналогии:

i = iпр + Aea t .

(1.21)

Однако определение принужденного режима и постоянной интегрирования несколько отличается. Принужденное значение рассчитывается так же как в

цепи переменного синусоидального тока. В комплексной				форме можно
записать:
&		jy
I& =	E e		= Ie j (y -j ) .	(1.22)
	R +
		jX L
В синусоидальной форме

iпр =Iпр m sin(w t +y – φ) .	(1.23)
При t = 0 i (0) = 0. Поэтому
0 = Iпр m sin(y – φ) + Aea 0 ,	(1.24)
A = – Iпр m sin(y – φ) .	(1.25)
Окончательно, закон изменения тока будет иметь следующий вид:

i = Iпр m sin(w t +y – φ) – Iпр m sin(y – φ) ea t . (1.26)

Напряжение на индуктивности равно

u L	= L	di		=
		dt
			.		(1.27)
= wLI прm			sin( wt + y - j + 90 0 ) - aLI прm sin(y - j )eat

9

Правильность полученных выражений можно проверить, вычислив

значения тока и напряжения в

начальный момент ,временисравнив

полученные значения с начальными условиями. При

t = 0 выражение для тока

дает ноль, выражение для напряжения

после некоторых

преобразований

дает

uL(0) = Umsin y . Так как в момент включения ток равен нулю, все напряжение

источника

прикладывается

к

индуктивности. Кривая

тока

вместе

с

составляющими приведена

на

рис.1.6,

а. Она показывает, что

по

мере

iпр

iпр

Iпрm

0

t

о

t

iсв

i

imax

i

iсв

а)

в)

Рис.1.6. Кривые тока и напряжения на индуктивности

затухания свободной составляющей переходный ток стремится к своему установившемуся значению. Однако в начале переходного процесса амплитуда тока превышает амплитуду установившегося значения, что зачастую приводит

к ложным срабатываниям релейной защиты. Здесь возможны два крайних

случая – свободная составляющая равна нулю, и свободная составляющая максимальна.

Переходный процесс отсутствует, если свободная составляющая равна нулю. При этом sin (y – j) = 0, из чего следует, что y = j. Это значит, качество переходного процесса зависит от момента коммутации. Если включить рубильник в момент перехода ожидаемого тока через ноль, то переходного процесса не будет.

Если sin (y – j) = 1, то свободная составляющая максимальна (рис.1.6, в).

10