4.6.Аналитический расчет нелинейных цепей

Вольтамперные		характеристики нелинейных				элементов	снимают как
обычно экспериментально и выражают в виде графиков. Для аналитического
расчета	требуется		математическая		зависимость, .е.		необходимо
аппроксимировать их приближенными аналитическими выражениями. Есть два
способа аппроксимации – кусочно-линейная аппроксимация и подбор единого
аналитического выражения для всей характеристики
	I		При					кусочно-линей
			аппроксимации			кривую		заменяют
	Е0
			отрезками	прямых (рис.			4.16), т.е.
		U	линеаризируют			цепь. Считается,		что
			величины		линейных		сопротивлений
			различны для разных участков исходной
Рис. 4.16. Принцип аппроксимации
			характеристики.
Здесь для начального участка характеристики отрезок прямой проходит
через начало координат, и имеет обыкновенное аналитическое выражение (U =
I R) . Другие участки имеют выражения типа
			U = -E0 + IR .
Для этих участков можно изобразить схему замещения,						содержащую источник
э.д.с. и линейное сопротивление (рис. 4.17).

	I
E0	R

Рис.4.17, Схема замещения

После такой замены расчет проводится по методам расчета линейных цепей.

59

4.7.Расчет магнитных цепей. Магнитное поле постоянных токов

Магнитное поле – одна из сторон единого электромагнитного поля. Но

можно создать условия, когда можно получить проявление только магнитного поля или только электрического. Магнитное поле создается движущимися электрическими зарядами, т.е. токами.

Магнитное поле оказывает силовое воздействие на проводник с током. В

проводнике, движущемся в магнитном поле, наводится э.д.с.. Сила действия

магнитного поля, или его интенсивность, характеризуется вектором

магнитной индукции B . Если по проводу длиной в один метр, находящемуся в равномерном магнитном поле, протекает ток в один Ампер, и на провод действует сила в один Ньютон, то индукция составляет один Тесла.

Линия, проведенная так, что вектор магнитной индукции в любой точке направлен по касательной, называется индукционной линией. Индукционные линии служат для графического изображения картины поля.

Поток вектора магнитной индукции называется магнитным потоком.

Поток через произвольную поверхность определяется выражением

Ф = ò Bd s .	( 4.3)
s

Следует отметить, что поток Ф величина скалярная. Кроме упомянутых магнитных величин существует напряженность магнитного поля, связанная с индукцией выражением

B = ma H ,	( 4.4)
где µа – абсолютная магнитная проницаемость;	µа = µ µ 0 ;

µ0 = 4π .10-7 Гн / м ; µ - зависит от свойств среды.

60

4.8.	Основные характеристики ферромагнитных материалов
При	решении	электротехнических	задач	вещества	делятся
сильномагнитные, у которых µ >> 1, и на слабомагнитные, у которых					µ ≈ 1,
или на	ферромагнитные и неферромагнитные. Электрические машины,

трансформаторы и другие аппараты конструируют так, чтобы магнитный поток
в них был по возможности наибольшим. Если в магнитную цепь	входит
ферромагнитный материал, то поток в ее ветвях при одной	и той ж

намагничивающей силе оказывается во много				раз больше, чем	в	случае
отсутствия ферромагнитного материала.
Ферромагнитные материалы обладают способностью усиливать внешнее
магнитное	поле за счет внутренних микротоков. Считается, что					внутри
металлов	имеются	области	одинаковой	намагниченности– домены.
Направления	намагниченности		этих доменов	различны, поэтому	в	целом

материал не проявляет магнитных свойств. Но если ферромагнетик поместить во внешнее магнитное поле, домены начинают переориентироваться и их магнитные поля начинают складываться, усиливая внешнее магнитное поле.

Усиление поля происходит до определенных пределов. Когда все домены

переориентируются, происходит так называемое насыщение.
Свойства	сильномагнитных		веществ, принято		характеризовать
зависимостью	магнитной	индукции	от	напряженности. Различают		два
основных типа этих зависимостей: кривые			намагничивания		и гистерезисные

В	В

Н	Н

Рис. 4.18. Кривая намагничивания	Рис. 4.19. Петля гистерезиса

61

петли. Под кривой намагничивания понимают однозначную зависимость между

В и Н (рис. 4.18). Из курса физики известно, что ферромагнитным материалам присуще явление гистерезиса – отставание изменения магнитной индукции В от изменения напряженности магнитного поляН. Он обусловлен необратимыми изменениями энергетического состояния под действиями внешнего поля. При периодическом изменении напряженности поля зависимость междуВ и Н приобретают петлевой характер (рис. 4.19).

4.9. Магнитные цепи постоянного тока. Законы магнитных цепей

Магнитной

цепью

называют

совокупность

катушек

, с

то

I

В, Н

ферромагнитных

тел,

по

которым

замыкается магнитный поток (рис.

4.20).

w

ФS

Ф0

Различается

основной

магнитный

поток,

который

замыкается

по

магнитопроводу

S

l

(Ф0) и

поток

рассеяния(ФS), который

частично

проходит

по

.

воздух

Рис. 4.20. Схема магнитопровода

Магнитные

цепи

могут

разветвленные и неразветвленные.

При расчете магнитных цепей делается ряд упрощений:

1.Поток рассеяния отсутствует.

2.Во всех сечениях магнитопровода поток одинаков.

3.Во всех сечениях магнитопровода вектор магнитной индукции имеет одну и

ту же величину и перпендикулярен ему. Поэтому	Ф = B S .
В соответствии с принятыми упрощениями	расчет ведется на среднюю

линию, которая проходит через центры всех поперечных сечений.

Закон полного тока. Магнитное поле создается электрическими токами.

Связь между магнитным полем и током определяется законом полного тока:

ò H d l = å I .	(4.5)
l

62

	Н	Формулировка	этого закона звучит
I		следующим образом. Циркуляция вектора
	a
		напряженности магнитного		поля	вдоль
A	dl
		замкнутого контура	равна	сумме	токов,
	I
		пронизывающих		этот	.	конт
Рис. 4.21. Иллюстрация закона полного		Графическая	иллюстрация		закона
тока

			полного тока приведена на рис. 4.21.
Подинтегральное		выражение представляет		собой скалярное			произведение
вектора напряженности магнитного поляН в т. А на вектор dl – бесконечно
малый отрезок контура в окрестностях точкиА. Интеграл представляет собой
сумму произведений при dl → 0. Если ток протекает по						катушке, то сумма
токов	равна	произведению	тока	на	число	витков	и	называ
магнитодвижущей силой (м.д.с.) .
		∑I = I w = F .					( 4.6)

Закон Ома для магнитных цепей. Если в законе полного тока в качестве контура интегрирования взять окружность с центром на оси провода с током, то взятие интеграла упрощается. Векторы H и dl будут параллельны друг к другу,

ипоэтому скалярное произведение превращается в простое. Величина Н

постоянна и может быть вынесена за знак интеграла:

ò Hd l = H ò dl = Hl ,		( 4.7)
l	l

где l – длина окружности (l = 2 π R).

С другой стороны, если взять участок магнитопровода, то там вектор напряженности магнитного поля с некоторым приближением тоже совпадает с контуром интегрирования по направлению и имеет постоянную величину. Для такого участка будет так же справедливо приведенное последнее выражение.

Если учесть, что

63

B = ma H , Ф = В S и Hl = F ,

то

Ф =

l

F

–

( 4.8)

m a S

закон Ома для магнитной цепи. Знаменатель этого выражения представляет

собой магнитное сопротивление

R м

=

l

,

( 4.9)

m a S

где

S – площадь поперечного сечения участка

магнитопровода. Магнитное

сопротивление

зависит

от

магнитного

потока, следовательно,

является

величиной непостоянной, и поэтому его применение ограничено.

Второй

закон

Кирхгофа

для

магнитных.

Рассмотримцепей

I1

l4

I2

магнитопровод переменного сечения (рис.

4.22). По закону полного тока

w1

w2

ò Hdl = I1w + I2 w ;

( 4.10)

l1

l2

l

l3

Левую

часть

уравнения

мож

Рис. 4.22. Схема магнитопровода

представить

состоящим

из

четырех

интегралов

ò H d l = ò H 1 d l + ò H 2 d l + ò H 3 d l + ò H 4 d l .

( 4.11)

l

l1

l 2

l 3

l 4

На разных участках Нi

различно, но в пределах одного участкаНi

одинаково и совпадает по направлению с dl . Тогда:

H1l1 + H2l2 + H3l3 + H4l4 = I1w1 + I2w2 .	( 4.12)
Здесь можно провести аналогию между электрическими	и магнитными
величинами:
E → F = I w ,
I → Ф ,

64

R→ R м .

Вмагнитных цепях величина H l играет такую же роль, как падение

напряжения

в

электрической

, цепипоэтому

называется

магнитным

напряжением и измеряется в Амперах. В общем случае

b

U abм

= ò

H

d

l

.

( 4.13)

a

В электростатике аналогично

U ab

b

= ò

Ed l .

( 4.14)

a

Выражение (4.13) можно представить в виде

Uм1 + Uм2

+ Uм3 + Uм4

= F1 + F2 .

( 4.15)

åUмк = åFk .

( 4.16)

Т.е. сумма магнитных напряжений на участках контура магнитной цепи равна сумме м.д.с, действующих в этом же контуре, это есть второй закон Кирхгофа для магнитных цепей.

Первый закон Кирхгофа. Рассмотрим узел разветвленной магнитной цепи
		(рис. 4.24). Окружим мысленно этот узел
Ф1	Ф2	замкнутой	поверхностью	и	к	этой
	Ф3	поверхности	применим			принцип
		непрерывности магнитного потока. Тогда
Рис. 4.24. Узел магнитной цепи		Ф1 = Ф2 + Ф2 ,		( 4.17)
		или
	åФК	= 0 .		( 4.18)

Алгебраическая сумма магнитных потоков, сходящихся в узле, равна нулю – первый закон Кирхгофа для магнитных цепей.

65