ò rotH ds = òdds

				S	s	.		(5.19)
Так	как	это	равенство	справедливо		для	всех	значений , интегралато

подинтегральные функции равны между собой, т.е.

rotH = d .

(5.20)

Это

есть

первое

уравнение

Максвелла

или

закон

полного

то

дифференциальной

+ δпер +

δсм -

плотность тока

форме. Здесь

δ = δпр

проводимости,

плотность

тока

переноса, и

плотность

тока

смещения

соответственно.

Здесь

δпр

= γЕ

– плотность тока проводимости,

δпер

–

плотность

тока

переноса,

δсм

=

dD/dt – плотность

тока

смещения. Ток

проводимости и ток переноса не могут существовать

в

одной

то

одновременно. Поэтому остается

δ = δпр

+ δсм

. Тогда

первое

уравнение Максвелла примет окончательный вид:

.

rot

= g

+

dD

(5.21)

H

E

dt

Это дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения магнитного поля в пространстве (слева пространственные координаты) со скоростью изменения электрического поля во времени. Оно имеет, как и все дифференциальные уравнения, бесчисленное множество решений. Нужное решение может быть найдено с учетом начальных и граничных условий.

5.4 Второе уравнение Максвелла
За основу берется закон электромагнитной индукции:
ò		dl		= e = -	dФ	.	(5.22)
	E
l					dt

Заслуга Максвелла заключается и в том, что он развил этот закон для мысленного контура, и добавил понятие о циркуляции вектора напряженности электрического поля вдоль этого мысленного контура. Левую часть этого уравнения преобразуем по теореме Стокса, правую представим в виде:

Ф = ò B d			s	,	(5.23)
s

89

dФ

d æ

ö

dB

=

ççò

Bds

÷÷ = ò

ds

.

(5.24)

dt

dt

dt ès

ø s

ds

= -ò

dB

ds

.

Тогда

ò rotH

(5.25)

s

s

dt

Здесь так же равны подинтегральные выражения:

.

= -

dB

(5.26)

rotE

dt

Это второе уравнение Максвелла. Оно связывает изменение электрического поля в пространстве с изменением магнитного поля во времени, и является дифференциальным уравнением, имеющим бесчисленное множество решений. Конкретное решение может быть найдено с учетом начальных и граничных условий. Эти два уравнения характеризуют неразрывную связь электрического

имагнитного полей.

5.5Третье уравнение Максвелла

Рассмотрим теорему Гаусса и постулат Максвелла.:

ò

ds

= å q ,

ò

ds

= åq .

E

D

(5.27)

s

ea

s

Левая часть уравнений преобразуется по теореме Остроградского:

ò

Dds

= òdivDdv.

(5.28)

s

V

Правая часть может быть расписана как

å q = ò rdv ,

(5.29)

V

где ρ – объемная плотность зарядов.

После подстановки

90

	ρ> 0				ρ < 0
+				–	divD < 0
		divD > 0

			Рис. 5.3. Иллюстрация дивергенции
		dv = ò rdv .
ò divD			(5.30 )
V		V

Здесь равны так же подинтегральные выражения

divD = r .

(5.31)

Это третье уравнение Максвелла. Оно говорит о том, что дивергенция, величина расхождения (мощность) электрического поля, равна плотности заряда в данной точке. Там, где нет зарядов, нет дивергенции поля. Если заряд положительный, дивергенция положительна, и наоборот (рис. 5.3)

5.6 Четвертое уравнение Максвелла
Проделав	аналогичные		операции		над	принципом	непрерывности
магнитного потока, можно получить четвертое уравнение Максвелла
				= 0.			(5.32)
		divB

Это уравнение говорит о том, что нигде нет источников магнитного поля, и оно

имеет вихревой характер. Принцип непрерывности электрического тока ничего

нового не дает в смысле характеристики электромагнитного поля, и не входит в

число основных уравнений.

Вполную систему уравнений, характеризующих электромагнитное поле

вточке, входят 4 уравнения Максвелла и еще три дополнительных:

91

= g

+

dD

rotH

E

,

(5.33)

dt

,

= -

dB

rotE

(5.34)

dt

= 0 ,

divB

(5.35)

= r ,

divD

(5.36)

= e a

,

D

E

(5.37)

= ma

,

(5.38)

B

H

d

= dпр +dпер +dсм.

(5.39)

Эти уравнения переменных полей. Если поля постоянны во времени, то их

можно разделить на две системы.

Для электростатического поля

Для магнитного поля (поля

постоянных токов)

rotE

= 0 ,

rotH

= dпр + dпер ,

= r ,

divD

divB = 0 ,

= ea

D

E

= ma

.

B

H

5.7 Теорема Умова-Пойнтинга. Вектор Пойнтинга

Эта

теорема

устанавливает

энергетические

соотношения

электромагнитном поле и направление потока энергии. Рассмотрим малый

объем dV в

области, занятой электромагнитным полем.

В пределах

этого

объема поле будем считать однородным, т.е. в любой точке объема действуют

одинаковые вектора

,

,

,

. Электромагнитное

поле

обладает

энергией, плотность

E

D

H

B

которого определяется выражениями:

=

ea E 2

E

D

- плотность энергии электрического поля,

2

2

92

		HB		=	m H2
					a	– плотность энергии магнитного поля.
2					2
Энергия электромагнитного поля в малом объеме

æ

ea E

2

ma H

2

ö

dW =

ç

÷

+

ç

2

2

÷dv .

è

ø

Умножим первое уравнение Максвелла на

dV :

E

= gE +

d

´

dv .

rot

D

H

E

dt

Умножим второе уравнение на Hdv :

rotE = - dB ´ Hdv . dt

(5.42)

В результате получим

d æ e

E 2

ö

ErotHdv = gE 2dv +

a

ç

÷dv ,

ç

2

÷

(5.43)

dt è

ø

d

æ

ma H

2

ö

HrotEdV = -

ç

÷

ç

2

÷dv .

(5.44)

dt è

ø

Вычтем из первого уравнения второе

(5.40)

(5.41)

é

æ

2

2

öù

d

eaE

maH

(ErotH -HrotE)dv= êgE2

+

ç

+

÷údv

ç

2

2

÷

ë

dtè

ø .

û

(5.45)

В соответствие с математической формулой

div [a × b ]= b rot a - a rot b ,

(5.46)

преобразуем левую часть:

- div[E × H ]= ErotH - HrotE .

(5.47)

Проинтегрируем уравнение по объему с учетом последнего выражения, 93

- ò div[				]dv = ògE 2 dv +ò		d	æ	ea E	2
	E	×	H				çç
								2
v				v	v dt è

ma H 2 ö

+÷dv . (5.48)

2 ÷

ø

Преобразуем левую часть по теореме Остроградского. Первое слагаемое правой части это мощность тепловых потерь в объеме. Во втором слагаемом поменяем местами операции интегрирования и дифференцирования. При этом интеграл дает величину энергии электромагнитного поля в рассматриваемом объеме. С учетом этого получим выражение:

-

[

×

]ds

= P

+

dW

.

(5.49)

ò

E

H

тепл

dt

s

Это

выражение

носит

название

теоремы

Умова. -Пойн

Подинтегральное выражение

[

]=

×

E

H

П

(5.50)

представляет собой вектор и носит название вектора Пойнтинга. Размерность

определяется следующим образом.

[

]=

в

;

[

]=

а

;

[

]=

в × а

=

Вт

.

Е

Н

П

м2

м

м

м2

Таким

образом,

вектор

определяет плотность потока

энергии,

П

проходящей

в единицу

времени через единичную площадку, расположенную

перпендикулярно движению энергии. Другими словами, вектор показывает направление движения энергии в данной точке. Левая часть теоремы – поток

энергии за единицу времени сквозь замкнутую поверхностьS ,

ограничивающую рассматриваемый объем. Этот поток положителен, если он выходит из объема, и наоборот.

Теорема Умова-Пойнтинга это баланс энергии для объемаV ,

ограниченного	поверхностью S.	В левой	части– количество	энергии
поступающей	извне в данный	объем за	единицу времени. Правая	часть

показывает, что эта энергия расходуется на тепловые потери(нагрев) и на изменение энергии электромагнитного поля.

94

5.8 Общая схема движения энергии в электрической цепи.

Рассмотрим цепь постоянного тока, содержащую источник э.д..с, приемник

	E n
Eτ	П
П	I
r	Н

l

Рис. 5.7. Иллюстрация вектора Умова-Пойнтинга

энергии и провода, имеющие активное сопротивление. Пусть по проводнику длиной l радиуса r с сопротивлением R протекает постоянный токI . К

поверхности проводника применим теорему Умова-Пойнтинга.

При постоянном токе изменение электромагнитной энергии отсутствует.

Следовательно:

ò[		]ds	= Pтепл .	(5.51)
	П
s

При протекании тока по проводнику создается падение напряжения

напряженностью Еτ , направленной вдоль проводника. Это

тангенциальная

составляющая электрического поля

=

IR

.

(5.52)

E

t

l

Вектор

по касательной к

Н напряженности магнитного поля направлен

поверхности поперек проводника. Согласно закону полного тока

ò

I

.

Hdl = I , H 2π r = I , H =

2pr

Тогда плотность энергии Пn, входящей через поверхность внутрь проводника :

			= [				]=	I 2 R	n	.	(5.53)
	П	n		Et		H
								l 2pr

Поток вектора через боковую поверхность:

95

	- ò		ds	= -ПSбок	= -	I 2 R	×2prl = -I 2 R .		(5.54)
		П
						l2pr
	s
Такая же величина получится и по закону Ома.
Рассмотрим	рис. 5.8.	Вектор Пойнтинга у источника выходит наружу. В
проводах	энергия		частично		входит		внутрь	из-за	наличия	активн

сопротивления и падения напряжения. Основная часть энергии движется вдоль поводов в окружающем пространстве. Провода служат только для направления энергии к потребителю. У потребителя вектор Пойнтинга направлен внутрь, а

энергия заходит и превращается в тепло.

	I	+	Е τ
			–
		П	+
П	+		Н		+
		Н	Н
	H		П	П
E	E	Н	Е n	Н	Е
		–
	–		+		–
		П
		Е	Н
	Рис. 5.8. Схема движения энергии в пространстве
	5.9Электростатическое поле
В электростатическом поле действуют уравнения:
		rotE = 0 ,			(5.55)
		divD = r ,			(5.56)
		D = e a E .			(5.57)
Одной из основных физических величин, характеризующих вещество,
является электрический заряд. Любой атом состоит из				атомного ядра и
электронов.	Важным свойством электрона является его отрицательный заряд.
		96

Носителем положительного заряда является протон. Взаимодействие между электроном и атомным ядром определяется в основном электрическим полем.

Следует отметить, что заряд нематериален. Это свойство частиц материи создавать электрическое поле.

Электрическое поле обнаруживается по силовому воздействию на заряженные пробные тела с силой, определяемой законом Кулона:

Qq

f =

r0 ,

(5.58)

4pe а R 2

где

Q, q – величины зарядов; R – расстояние между зарядами,

r0 - единичный

вектор.

Величина

εа= εоε

называется

абсолютной

диэлектрической

проницаемостью. Величина εо – электрической постоянной. Она равна

e0

=

1

» 8,856

×10-12 (Ф/м) .

m0с2

Относительная диэлектрическая проницаемость (ε) показывает во сколько раз напряженность поля в веществе меньше, чем в вакууме.

Электрическое поле существует независимо от наличия пробного заряда.

Поэтому появляется необходимость введения соответствующих характеристик.

Например, сила, действующая на единицу заряда, представляет собой напряженность Е электрического поля. Чем меньше величина пробного заряда,

тем меньше искажается исследуемое поле. В пределе:

			= lim	F		,	(5.59)
		E
			q ®0 q

или

				Q
	E =					ro (В/м).	(5.60)
				4pea R2

Как видно из последнего выражения вектор напряженности зависит от свойств среды. Однако существует величина, зависящая только от величины

97

заряда. Это вектор электрической индукции(D), или вектор электрического смещения:

			=		Q			r	.	(5.61)
	D
					4pR2 o
Тогда:
				= ea			(К/м2).			(5.62)
		D				E

Если поле создается несколькими точечными зарядами, то общая напряженность определяется как геометрическая сумма:

1

n

Q

m

r

E = E

+ E

+ E

+K+ E

2

3

n

=

å

. (5.63)

1

4pea m =1 R

2

om

m

5.10 Безвихревой характер электростатического поля

Если в электрическое поле с напряженностью Е внести точечный заряд q,

то под действием сил поля заряд будет перемещаться. Работа, совершаемая силами поля при перемещении заряда из точки 1 в точку 2,

2				2
A = ò	Fdl = qò Edl .								(5.63)
1	1
Работа, совершаемая при перемещении заряда, не зависит									от пути, а

только от конечных точек, и при движении вдоль замкнутого пути равна нулю.

Это свидетельствует о безвихревом характере электростатического поля. Так

как работа зависит от величины	дополнительного	, зарядато возникает
необходимость определить величину	работы на	единицу . зарядаТакая
величина носит название потенциала.
5.11 Электрический потенциал

Электрический потенциал (φ) определяется делением работы на величину заряда:

98

		A	2		dl
	j =		= ò	E			.	(5.64)
		q
			1

Как видно из последнего выражения потенциал зависит от конечной точки перемещения. Потенциалы разных точек поля можно характеризовать по отношению к одной определенной точке. При перемещении этой точки потенциалы остальных будут изменяться на одну и ту же величину. Поэтому для однозначности необходимо выбрать такую точку поля, потенциал которой равнялся бы нулю. Обычно такая точка находится или в бесконечности или на поверхности земли.

Разность потенциалов между двумя произвольными точками поля называется напряжением

b
U ab = ja -jb = ò		dl		.	(5.65)
	E
a

Напряжение не зависит от точки нулевого потенциала.

Рассмотрим две бесконечно близкие точкиР и Р1 (рис. 5.9), настолько близкие, что напряженность поля Е изменяется бесконечно мало. Пусть потенциал точки Р равен φ (φр = φ). Потенциал точки Р1 увеличивается и будет иметь значение:

j p1	= j +	¶j	dl .	(5.66)
		¶l

Определим разность потенциалов этих точек:

j

p

-j

p1

= j -j -

¶j

dl = -

¶j

dl .

(5.67)

/ /

¶l

¶l

С другой стороны

p1

j p -j p1 = ò

E

dl

=

E

dl

= E cosadl = El dl ,

(5.68)

p

где Еl – проекция напряженности поля на направление l.

В таком случае

99

		-	¶j	dl	= El dl , или -	¶j		= El .		(5.69)
			¶l				¶l
Это	означает, что	скорость			уменьшения			потенциала	в	произвольном

направлении l равна проекции вектора напряженности на это направление.

Аналогичные выражения можно получить и в направлениях осей координат.

Тогда вектор напряженности поля будет равен градиенту потенциала, взятому с отрицательным знаком:

			æ	¶j		¶j		¶j	ö
	E = -ç				i +		j +		k ÷ = -gradj = Ñj
Е	ç			¶x		¶y		¶z	÷
	è								ø

Р

a

Р1

,

где Ex = -

¶j

; E y

= -

¶j

; Ez = -

¶j

–

dl

El

l

¶x

¶y

¶z

Рис. 5.9. К определению

проекции

вектора

на

координатные . оси

потенциала

Модуль

вектора

определяется как

корень

квадратный из суммы квадратов проекций:

æ ¶j ö2 E = ç ÷ è ¶x ø

æ	¶j ö2		æ	¶j ö		2
+ ç		÷	+ ç		÷	.	(5.70)
ç	÷		è ¶z ø
è	¶y ø

Из (5.69) следует, что

	j = -ò Edl + const .							(5.71)
	С учетом (5.60)
	j = -ò		QdR				+ const .	(5.72)
		4pea R2

Определим постоянную интегрирования. Пусть при R = ¥ j =0. Тогда const=0

j =	Q	(5.73)
	.

4pea R

100

Таким образом, расчет электрического поля осуществляется следующим образом:

Определяется потенциальная функцияj = j(x, y, z), т. е. зависимость потенциала каждой точки от координаты точки.

Осуществляется переход от потенциала к напряженности поля.

Пример:

Пусть j = 5x2 + 3y3 + 2z2 . Определить Е в точке А(1, 2, 2).

	¶j			=10x;	æ		¶j ö			=10;
Решение:					ç				÷
	¶x
					è		¶x øx =1
		¶j		= 9 y 2 ;	æ		¶j ö			= 36;
					ç			÷
		¶y			ç		÷
					è		¶y ø y =2

¶j	= 4z ;	æ	¶j ö		= 8 .
		ç		÷
¶z
		è	¶z øz =2

5.12 Определение потенциала по заданному распределению зарядов в пространстве

Потенциал в поле точечного заряда определяется по выражению приведенному выше. Если поле создается системой “n” точечных зарядов, то

	n		qk
	j = å				.
			4pea Rk
	k =1
	(5.74)
	Пусть заряд распределен по объему. В этом случае весь объем можно
	разбить на малые объемы с зарядами dq . Тогда
	dj =		dq	.

4pea R

(5.75)

Пусть задано распределение заряда в пространстве, . е. известна плотность заряда в любой точке: ρ(x, y, z). Тогда dq = ρ dv и

101

j =

1

Vò

rdv

.

4pe a

R

Если заряды распределены по поверхности с поверхностной плотностью

j =

1

Sò

sds

.

(5.77)

4pe a

R

5.13 Уравнение Пуассона и Лапласа

Рассмотрим теорему Гаусса (второе уравнение Максвелла):

(5.76)

σ, то

div

=

r

.

(5.78)

E

ea

В развернутом виде имеем:

дE

дEy

дE

r

x

+

+

z

=

дy

дz

ea .

(5.79)

дx

В тоже время

E x = -

дj

; E y = -

дj

;

E z

= -

дj

.

дx

дy

дz

После подстановки получается уравнение Пуассона:

д2j

+

д2j

+

д2j

= -

r

дx2

дy2

дz2

ea .

(5.80)

Для тех точек поля, где нет зарядов, получается уравнение Лапласа:

д2j	+	д2j	+	д2j	= 0 .
2		2		2
дx		дy		дz

Это уравнения в частных производных, имеющие бесчисленное множество решений. Единственное решение может быть найдено с учетом граничных условий.

102

Пример: Пусть			даны две бесконечно больших заряженные пластины с
z				потенциалами	0 и jА (рис. 5.10). Ввиду
				бесконечности	размеров	поле	между
			jA	пластинами	равномерное.	Следовательно,
o E

yпроизводные по координатамx и z равны нулю. Тогда

x				¶ 2j			¶j
	d				= 0 ;			= C1
				¶y 2
							¶y
	Рис. 5.10
			дj = C1 дy;			j = C1 y + C2 .

Определим постоянные интегрирования с учетом граничных условий. При y = 0 j = 0,

0 = С1 0 +С2 , С2 =0.
при y = d j = jА . Тогда: jА = С1 d ,	C1 = jA / d. Отсюда получаем

окончательное выражение для потенциала между пластинами:

j = j А y . d

Напряженность между пластинами:

E = -	¶j	j
	¶y = - d .
Напряженность постоянна и направлена в обратную сторону по отношению к
			оси y.
		εа	5.14 Граничные условия
			Пусть заряд расположен на поверхности
		ds	проводящего		тела.	В	этом	случае	заряд
	D=0	D E
			распределяется		по	поверхности		равномерно.
		Sбок=0
			Выделим	бесконечно			малый	объем	в виде
Рис. 5.11. Определение			цилиндра	(рис. 5.11),			с бесконечно		малой
			высотой		и		ограниченный		замкну
	граничных условий

103

поверхностью. К этой поверхности применим постулат Максвелла:

ò D d			s	= sds .	(5.81)
S

Можно считать, что боковая поверхность равна нулю. Внутри проводящего тела поле отсутствует. Тогда весь поток будет идти только через внешнюю

торцовую поверхность цилиндра. Суммарный заряд, находящийся внутри

цилиндра равен поверхностной плотности заряда умноженной на поверхность ds. Так как в пределах торцовой поверхности векторD постоянен, то можно записать:

ò Dds			= D ds			= Dds = sds ,	(5.82)
S
т. е.

D = σ , и E = σ/εa .

5.15 Поле шарового электрода Для заземления электрической цепи ее соединяют с помощью провода с

металлическим проводником, зарытым в землю. Такой проводник называется

заземлителем. Ток, проходящий в землю через заземлитель, встречает

сопротивление, которое называется со проти влением заземлен ия. Вблизи от заземления, на поверхности земли, могут возникнуть большие напряжения.

Исследуем поле полусферического заземлителя. Металлический полушар

радиуса а находится в грунте с проводимостьюγ . К полушару при помощи изолированного провода подводится постоянный токI , который возвращается на достаточном удалении от заземлителя. По условиям симметрии, линии вектора плотности тока d вблизи заземлителя будут направлены радиально. На расстоянии R от центра шара плотность тока

			I		ro
d =						.	(5.83)
			2 p R	2

По закону Ома напряженность электрического поля

104

=

d

=

I

E

r

.

(5.84)

g 2pgR2

o

Эквипотенциальные поверхности будут концентрическими сферами.

Напряжение между двумя точками на поверхности земли (R1 , R2).

R2

1

R2

dR

1

æ

1

1

ö

1

æ

1

1

ö

U = ò

EdR =

ò

= -

ç

-

÷

= +

ç

-

÷

. (5.85)

2pg

R 2

2pg

R

R

2pg

R

R

ç

2

÷

ç

R R

2

÷

1

1

è

1

ø

è

1

ø

При увеличении расстояния R2 и

R1 = a напряжение U стремится к

пределу

Uo =

I

,

(5.85)

2pga

где а –

расстояние до рассматриваемой точки.

Uo

называется

напряжением

растекания.

Отношение растекания к току

носит название сопротивления растеканию:

R р

=

U o

=

1

.

(5.86)

I

2pga

5.16 Магнитное поле постоянных токов Магнитное поле постоянных токов создается неизменными во времени

токами, протекающими по проводящим телам, неподвижным по отношению к наблюдателю. Оно характеризуется индукциейВ, намагниченностью J и

напряженностью магнитного поляН. Это векторные величины, и связаны между собой соотношением

B = mo (H + J ) = mo mH = ma H ,											(5.87)

где μо – магнитная постоянная, равная 4π ·10-7 Гн/м; μа – абсолютная и μ –

относительная магнитная проницаемости.

Основным проявлением магнитного поля является воздействие его на проводник с током, помещенным в это поле. Опыт показывает, что сила F, с

которой магнитное поле действует на элемент проводника длинойdl с током I,

определяется следующим образом:

105

		= I [dl				] .	(5.88)
	F				B

Эта сила направлена перпендикулярно вектору индукции в данной точке

поля и перпендикулярна элементу токаdl. Если индукция В и элемент длиной dl параллельны, то элемент тока не испытывает механического воздействия со стороны магнитного поля. И это воздействие максимально, если они перпендикулярны.

Индукция магнитного поля измеряется в теслах(Тл). Если проводник

длиной 1 м, по которому протекает ток1 А испытывает в равномерном

магнитном поле силу в 1 Н, то индукция равна 1 Тл.

5.17 Скалярный магнитный потенциал

Согласно первому уравнению Максвелла в тех местах, где есть плотность тока, ротор вектора напряженности не равен нулю и поле имеет вихревой

характер. В тех областях, где плотность тока равна нулю(d = 0) rot H = 0 ,

магнитное поле можно рассматривать какпотенциальное. Каждая точка такой области будет иметь скалярный магнитный потенциалjм . Следовательно, для таких областей можно принять

		H = -gradjм .			(5.89)
Однако физической сути скалярный магнитный потенциал не имеет, и является
величиной	многозначной. Для			однозначности	необходимо, чтобы	путь
перемещения из одной точки в другую не проходил через контуры с током.
Задача расчета магнитного поля при этом сводится к следующему:
Определению потенциальной функции jm(x,y,z);
Нахождению значения напряженности (H).
Так как формально jm полностью аналогична j электростатического поля, то
для магнитного потенциала справедливо выражение:

	д2j		д2j		д2j
	m	+	m	+	m	= 0	,	(5.90)
			дy2		дz2
	дx2
или			Ñ2jm = 0 .					(5.91)

106

Это дифференциальное уравнение, имеющее бесчисленное множество решений. Единственное решение может быть найдено для конкретного случая с учетом граничных условий.

5.18 Векторный магнитный потенциал Для расчета магнитных полей широко используют векторный магнитный

потенциал. Его обозначают буквойА. Ротор этого вектора равен вектору индукции

B = rot A .

(5.92)

Учитывая то, что

= ma

и rot

B

H

H

= d

, можно записать:

rotrot

A

= mad

.

(5.93)

Из векторной алгебры известно, что

rotrot

= graddiv

- Ñ2 A.

(5.94)

A

A

В данном случае принимают, что div

= 0 . Поэтому

A

Ñ2

.

(5.95)

А

= -mаd

Это уравнение Пуассона для векторного магнитного потенциала. Его решение записывается в виде:

+ B=rot A

I								A

			= ò	mad		dV ,
		A
			V 4pR
(5.96)
где R – расстояние от		точки, в которой
определяется	векторный			потенциал, до

элементов объема, на которые разбит объем V; δ

– плотность постоянного тока.

Рис. 5.12

107

Если ток протекает по линейному проводнику (рис. 5.12), то

dl

ò

ddV

= ò

dl

ds

= I ò

.

(5.97)

òd

V R

L R S

L R

Тогда векторный магнитный потенциал линейного тока (5. 13)

ma I

dl

A =

ò

.

(5.98)

dA

4p

L

R

ds

i

dl

δ

Рис. 5.13

108

ОГЛАВЛЕНИЕ

1.КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ..... 3

1.1.	Общие положения.........................................................................................		3
1.2. Задача и порядок расчета переходных процессов.......................................			4
1.3. Включение катушки на постоянное напряжение........................................			5
1.4. Включение конденсатора на постоянное напряжение................................			7
1.5. Включение индуктивности на синусоидальное напряжение.....................			9
1.6.	Включение	цепиR, L, C на постоянное напряжение ...............................	11
1.7.	Построение	графиков зависимостей uc = f (t);uL = f (t);i = f (t) ..	14
1.8. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях.............................			19
2. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД РАСЧЕТА ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ.....			23
2.1.	Общие вопросы...........................................................................................		23
2.2. Переход от оригиналов к изображениям...................................................			23
2.3. Правила дифференцирования и интегрирования.........................................			25
2.4. Закон Ома в операторной форме................................................................			26
2.5. Второй закон Кирхгофа в операторной форме..........................................			28
2.6.	Операторные схемы....................................................................................		30
2.7. Переход от изображений к оригиналам.....................................................			30
2.8.	Включение цепи R, L, C на постоянное напряжение..............................		34
2.9.	Передаточные функции..............................................................................		36

2.10.Моделирование физических процессов

	с помощью электрических схем ................................................................	37
3. ЦЕПИ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ .....................................		39
3.1.	Общие вопросы...........................................................................................	39
3.2.	Физическая природа первичных параметров............................................	39

3.3.Эквивалентная схема замещения цепи

	с распределенными параметрами ..............................................................	40
3.4.	Решение основных уравнений....................................................................	42
3.5.	Постоянные интегрирования. Гиперболические функции.......................	44
3.6.	Падающие и отраженные волны................................................................	45
3.7.	Фазовая скорость. Длина волны.................................................................	47
3.8.	Неискажающая линия.................................................................................	47
3.9. Входное сопротивление нагруженной линии............................................		48
3.10. Вторичные параметры цепи линии ............................................................		50
3.11. Входное сопротивление линии без потерь
	при коротком замыкании на конце линии ................................................	51

3.12.Стоячие волны в линии без потерь при коротком замыкании

на конце линии .........................................................................................

52

109

4.		НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ .............................................	53
4.1.		Общие вопросы и определения..................................................................	53
4.2.		Вольтамперные характеристики некоторых реальных элементов...........	54
4.3.		Расчет нелинейных цепей постоянного тока.............................................	54
4.4.		Метод двух узлов........................................................................................	56
4.5.		Расчет нелинейных цепей методом эквивалентного генератора.............	57
4.6.		Аналитический расчет нелинейных цепей................................................	59
4.7.		Расчет магнитных цепей. Магнитное поле постоянных токов................	60
4.8.		Основные характеристики ферромагнитных материалов........................	61
4.9.		Магнитные цепи постоянного тока. Законы магнитных цепей................	62
4.10.		Расчет неразветвленной магнитной цепи..................................................	66
4.11.		Расчет силы притяжения электромагнита...............................................	67
4.12.		Нелинейные цепи переменного тока.........................................................	69
4.13.		Форма кривой тока и напряжения..............................................................	70
4.14.		Потери на вихревые токи и гистерезис......................................................	71
4.15.		Катушка со стальным сердечником. Схема замещения............................	73
4.16.		Определение намагничивающего тока......................................................	74
4.17.		Трансформатор со стальным сердечником................................................	75
4.18.		Определение параметров схемы замещения.............................................	79
4.19.		Метод кусочно-линейной аппроксимации................................................	80
5.	ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ ..............................................		84
5.1.		Общие вопросы...........................................................................................	84
5.2.		Краткие сведения из векторной алгебры...................................................	86
5.3.		Первое уравнение Максвелла.....................................................................	88
5.4.		Второе уравнение Максвелла.....................................................................	89
5.5.		Третье уравнение Максвелла.....................................................................	90
5.6.		Четвертое уравнение Максвелла................................................................	91
5.7.		Теорема Умова-Пойнтинга. Вектор Пойнтинга........................................	92
5.8.		Общая схема движения энергии в электрической цепи. ..........................	94
5.9.		Электростатическое поле...........................................................................	96
5.10.		Безвихревой характер электростатического поля..................................	98
5.11.		Электрический потенциал.......................................................................	98
5.12.		Определение потенциала.......................................................................	101
5.13.		Уравнение Пуассона и Лапласа.............................................................	101
5.14.		Граничные условия................................................................................	103
5.15.		Поле шарового электрода......................................................................	104
5.16.		Магнитное поле постоянных токов.......................................................	105
5.17.		Скалярный магнитный потенциал.........................................................	106
5.18.		Векторный магнитный потенциал.........................................................	107
		Литература

110

Рашит Яхьевич Сулейманов

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОТЕХНИКИ

Конспект лекций для студентов всех форм обучения

Издание четвертое, исправленное и дополненное

Реактор Е. А. Морозова

620034, Екатеринбург, ул. Колмогорова, 66, УрГУПС Редакционно-издательский отдел

Бумага писчая №1	Подписано в печать	Усл.п.л. 6,7
Тираж 200 экз	Формат 60 Х 90 1/16	Уч-изд.л 6,2