а)

б )

Рис. 1.10. Синусоиды с разными декрементами колебания

i

e

-dt1

sin

¢

D =

=

w t

1

1

.

(1.53)

i2

e

-d ( t1 +T )

sin [w ¢(t1

+ T )]

Но

¢

¢

+ T )], тогда

sin w t1

= sin[w

(t1

e

-dt

= e -dT

-

d 2p

D =

= e

w¢

(1.54)

-d (t1 +T )

e

.

Величина

ln D = dT называется логарифмическим декрементом колебания

1.8. Расчет переходных процессов в разветвленных цепях

Рассмотрим разветвленную цепь с двумя накопителями энергии. (рис. 1.11)

	L
R2	iL	iC	i1
E		C	R1
	Рис.1.11.Разветвленная цепь

19

Расчет производится в следующем порядке.

1. Определяются основные начальные условия исходя из законов коммутации:

uC (0- ) = uC (0+ ) = uC (0 ) = i1

(0)R1 =

E

R1 ,

(1.55)

E

R1 + R2

iL

(0) =

.

(1.56)

R

+

R

2

1

2. Принужденный режим:

Е

u Cпр

= E ,

i Lпр

=

.

R

1

3. Неосновные начальные условия. Для их определения необходимо записать дифференциальные уравнения на основании законов Кирхгофа (левый столбик).

i

L

= i

C

+ i

,

i L ( 0 ) = iC ( 0 ) + i1 ( 0 ),

(1')

1

u L ( 0 ) + u C ( 0 ) = E ,

u L

+ u C

= E ,

(2')

u C = i1 R1 ,

u C ( 0 ) = i1 ( 0 ) R1 ,

(3')

di

u L

= L

di L

u L ( 0 ) =

L

L

,

,

dt

t

(4')

dt

= 0

du C .

iС

= C

du

C .

.

iC ( 0 ) =

C

.

(5')

dt

dt

t

= 0

Запишем эти уравнения для момента времени t = 0 – правый столбик. Из полученной системы выразимнеосновные начальные условия, из которых в основном нужны значения производных в начальный момент времени. Из уравнения (2') с учетом (3') и основных начальных условий имеем

20

	uL (0) = E -uC	(0) = E - E	R1	= E	R2	.	(1.57)
			R1 + R2		R1 + R2

Тогда из (4') с учетом последнего выражения получим

diL

=

uL (0)

=

E

×

R2

.

(1.58)

dt

t = 0

L

L

R1 +

R2

Из уравнения (5') с учетом (1') и (3') получим

duC

iC (0)

é

uC (0)

ù

=

= êiL

(0)

-

ú

C = 0 .

(1.59 )

dt

C

R1

t = 0

ë

û

4. Для нахождения корней характеристического уравнения записываем выражение для входного сопротивления на переменном токе:

		R	1		1
Z	( j w ) = j w L +			jw C
		R 1	+		1		.		(1.60)
					j w C
Заменив jω на	a и, приравняв нулю полученное								выражение, будем
иметь

	1
	R1						R1		=	a 2 R1 LC + aL + R1
Z (a ) = aL +		aC				= aL +					. (1.61)
	1						R1aC + 1			R1aC +1
	R1 +		aC

Дробь равна нулю, если равен нулю числитель:

a 2 R 1 LC + a L + R 1 = 0 .

(1.62)

Это и есть характеристическое уравнение. Перепишем его в виде

21

a 2

+

aL

+

R1

= 0 ,

или

a 2 + a

1

+

1

= 0

. (1.63)

R1 LC R1 LC

R1C

LC

Введем обозначения:

2 d

=

1

, w 02

=

1

.

R 1 C

LC

Тогда a1, 2

= -d ±

d 2

- w 02 .

5. Решение дифференциального уравнения записывается в виде

u C = u C пп + A1 e a 1 t + A 2 e a 2 t ,

(1.64)

du C

= a

1 A1 e a 1 t + a

2 A

2 e a 2 t

dt

где А1 и

А2 постоянные интегрирования,

которые определяются с учетом

основных и неосновных начальных условий (смотри выше).

При действительных и равных корнях решение ищется в виде

uC = uCпп + ( A1 + A2 t )ea 2 t

22