5.ТЕОРИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

5.1.Общие вопросы

Теория электромагнитного поля используется для расчета магнитных и

электрических полей различных электрических машин и приборов. Незаменима

эта теория и для исследования радиотехнических изделий, которые используют

процесс движения		электромагнитной			энергии. Носитель этой энергии–
электромагнитное		поле –		существенно		отличается	от	привычной
материальной	среды.		Об	этом		свидетельствует		факт	переда
электромагнитной энергии через вакуум. Таким образом, электромагнитное
поле – особый	вид	материи		в отличие от		вещества. Однако	оно	имеет	ряд

признаков свойственных веществу:

а) обладает массой;

б) энергией;

в) количеством движения и моментом количества движения.

Это свойства материи, которые подчиняются законам физики.

Электромагнитное поле может создаваться из вещества и превращаться в вещество и никуда не исчезает. Оно может существовать вместе с зарядами и отдельно от них (электромагнитные волны). Электромагнитное поле материально, а заряд не материален, это свойство частицы создавать поле и взаимодействовать с полем. Природа электричества неизвестна.

Электрическое		поле	и	магнитное	это	две	стороны	е
электромагнитного		поля. Электрическое поле			создается	электрическими
зарядами, а также изменяющимся магнитным полем. Магнитное поле создается
движущимися	электрическими			зарядами,	также		изменяющимся

электрическим полем. Раздельное изучение электрического и магнитного полей

это лишь методический прием.

1.Для расчета электрических цепей, где действуют постоянные токи и токи

невысокой	частоты	нет	необходимости	использовать
электромагнитного поля.		При расчете электрических цепей использовались

84

следующие основные уравнения:	ò Hdl = åi – закон полного тока.

l

(5.1)

		ò				= e = -	dФ
	2.		Edl						– закон электромагнитной индукции.
							dt
		l

åq

3.

ò Eds =

ea

–

закон Гаусса.

s

ò

= åq

4.

Dds

–

постулат Максвелла.

s

ò

5.

Bds

= 0

– принцип непрерывности магнитного потока.

s

ds

= 0

6.

òd

–

принцип непрерывности полного

s

электрического тока.

7.D = ea E .

8.B = ma H .

9.d = dпр +dпер +dсм.

(5.2)

(5.3 )

(5.4)

(5.5)

(5.6)

(5.7)

(5.8)

(5.9)

Эти уравнения характеризуют поле по поверхности, по объему, по контуру, и не характеризуют его по каждой точке. Для того, чтобы выяснить характер электромагнитного поля, этих интегральных уравнений недостаточно. Необходимо перейти к дифференциальной формулировке этих законов, т.е. к уравнениям Максвелла. Уравнения Максвелла рассматривают поля в пространстве с помощью векторной алгебры. Рассмотрим некоторые вопросы векторной алгебры, непосредственно связанные с теорией поля.

85

5.2 Краткие сведения из векторной алгебры

Пусть в областиG пространства задана функция u =f (P) (P – любая точка области). Это означает, что в области G определено скалярное поле. Если G – область трехмерного пространства, то скалярное поле u можно рассматривать как функцию трех переменных x, y и z (координат точки Р):

u = u (x, y, z).

(5.10)

Пусть эта функция однозначна и имеет непрерывные частные производные первого порядка. При переходе из одной точки пространства к другой функция изменяется с некоторой скоростью. В каком-то направлении эта скорость будет максимальна, и называется градиентом функции. Градиент – величина векторная:

дu	i +	дu	j +	дu	k = grad u	,
дx дy				дz

(5.11)

где i, j, k - единичные векторы (орты)

Итак, градиент есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания и численно равен скорости изменения функции по этому направлению.

Для сокращения записей в векторной алгебре вводится понятие формального символического вектора – оператора Гамильтона ( - набла):

д		д		д
	i +		j +		k = Ñ .	(5.12)
dx		дy		dz

В этом случае градиент трактуется как произведение оператора Гамильтона на скалярную функцию

Ñ u = grad u .

(5.13)

Рассмотрим векторную функциюF ( X ,Y , Z ) , заданную своими проекциями. Определим скалярное произведение вектора Ñ и вектора F :

æ

д

д

д

ö

×(Xi +Yj + Zk) =

дX

дY

дZ

ç

÷

Ñ× F = ç

i +

j +

k ÷

+

+

= divF

. (5.14)

дx

дy

дx

дy

è

дz ø

дz

В результате получается скалярная функция – дивергенция вектора F . Дивергенция характеризует расходимость или мощность источника.

86

Возьмем векторное произведение вектораÑ и вектора F При этом будем иметь в виду, что j x k = i , и i*i = 0 .

æ

ö

i

j

k

д

д

д

д

д

д

ç

÷

Ñ´F =ç

i +

j +

k÷´(Xi+Yj+Zk)=

=

дx дy дz

è

дx дy дz ø

X

Y

Z

æдZ дYö

æдX дZö

æ

дY дXö

=ç

÷

÷j +

ç

÷

-

+ç

-

-

i

ç

k =rotF

(5.15)

ç

÷

è дz дxø

÷

.

è

дy дzø

è

дx дyø

Получился новый вектор, который характеризует вращательную способность вектора F. Рассмотрим одну координату ротора. Первая составляющая ( dZ / dy ) – есть скорость изменения координаты Z самого вектора в направлении орты j. В этом направлении вектор растет, и как бы закручивает мельницу против часовой стрелки (рис. 5.1). Плоскость кручения обозначается стрелкой, перпендикулярной к плоскости, направленной к зрителю, и в данном случае по направлению оси i. Вторая составляющая –

k				скорость изменения координаты Y самого
				вектора в направлении орты к. Стрелка
	дZ	-	дY	кручения так же направлена по оси i.
	дY		дZ	Остальные координаты ротора получаются
				таким же образом.

j

i

Рис. 5.1. Схема одной координаты ротора

87

dl

Рис. 5.2. Иллюстрация закона

5.3 Первое уравнение Максвелла

Первое уравнение выводится на основе закона полного тока:

ò H dl = å i

			l	.		(5.16)
			Этот	закон	является	основным , законом
I			устанавливающим связь между магнитным полем
	H				током. Он	гласит: циркуляция
			и электрическим

a

вектора напряженности магнитного поля вдоль замкнутого контура равна алгебраической сумме токов, пронизывающих контур интегрирования.

Графическая иллюстрация этого закона приведена на рис. 5.2. На этом рисунке изображен контур, расположенный в магнитном

поле. Этот контур пронизывается токомI. Для одной из точек контура изображен вектор напряженности магнитного поляH. Выделим бесконечно малый отрезок контура в окрестностях рассматриваемой точки и обозначим его вектором dl, проведенным по касательной к контуру. В пределах бесконечно

малого отрезка dl вектор Н изменяется бесконечно мало. Подинтегральное

выражение в законе полного тока представляет собой скалярное произведение векторов. Преобразуем левую часть уравнения по теореме Стокса:

ò Hdl = òrotHds

l S . (5.17)

Правая часть полученного уравнения представляет собой поток ротора вектора напряженности магнитного поля сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования. Правая часть закона полного тока может быть развернута следующим образом:

å i = òd ds

s . (5.18)

Тогда закон полного тока запишется в виде

88