Вайнберг С. Квантовая теория полей. Том 2 (2001)

15.7. БРСТ симметрия

43

причем не обязательно взятыми в одной и той же точке простран- ства-времени. Тогда

δθ (ϕ1ϕ2 ) = θ(sϕ1)ϕ2 + ϕ1θ(sϕ2 ) = θ (sϕ1)ϕ2 ± ϕ1sϕ2 ,

где знак «плюс» соответствует случаю, когда ϕ1 — бозонное поле, а знак «минус», когда ϕ1 — фермионное поле. Это означает, что

s(ϕ1ϕ2 ) = (sϕ1)ϕ2 ± ϕ1sϕ2 .

Как мы видели, δθ(sϕ1) = δθ(sϕ2) = 0, действие БРСТ преобразования на s(ϕ1ϕ2) равно

δθs(ϕ1ϕ2 ) = (sϕ1)θ(sϕ2 ) ± θ(sϕ1)(sϕ2 ).

Íî sϕ всегда имеет статистику, противоположную ϕ, так что, перемещение θ в первом слагаемом в правой части налево вносит знако-

вый множитель е:

δθs(ϕ1ϕ2 ) = θ m(sϕ1)(sϕ2 ) ± (sϕ1)(sϕ2 ) .

Продолжая в том же духе, видим, что БРСТ преобразования нильпотентны при действии на любое произведение полей в произвольных пространственно-временных точках:

δθs(ϕ1ϕ2ϕ3 . . . ) = 0 .

Любой функционал F[ϕ] можно записать как сумму многократных

интегралов от таких произведений с с-числовыми коэффициентами, так что аналогично получаем

δθsF[ϕ] = θssF[ϕ] = 0 .

(15.7.20)

Доказательство нильпотентности БРСТ преобразования завершено. Вернемся к проверке инвариантности действия (15.7.6) относительно БРСТ преобразований. Во-первых, заметим, что для любого функционала только от полей материи и калибровочных полей БРСТ преобразование есть просто калибровочное преобразование с инфи-

нитезимальным калибровочным параметром

44	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории
	λα (x) = θωα (x).	(15.7.21)

Поэтому первое слагаемое в (15.7.21) автоматически БРСТ инвариантно:

dθ z d4xL = 0 .

(15.7.22)

Чтобы вычислить результат действия БРСТ преобразования на оставшуюся часть действия (15.7.6), заметим, что его действие на функцию, фиксирующую калибровку, есть в точности калибровочное преобразование (15.7.21), так что

X dfα [x; Aλ , yλ ]			qwβ (y)d4 y
dθ fα [x; A, y] = Y	dlβ (y)
Z			λ =0
X		[A, y]wβ (y)d4 y
= qYFα β
Z	x, y

или, записывая это выражение с помощью величины (15.7.3),

δθ fα [x; A, ψ] = θΔα (x; A, ψ, ω).

(15.7.23)

(Заметим, что F — бозонная величина, так что при перемещении q налево знак не меняется.) Напомним также, что dθwα = –qha è dθhα = 0. Поэтому отличные от L слагаемые в подынтегральном вы-

ражении «нового» действия (15.7.6) можно записать в виде

INEW = z d4x L + sY,
X			4	F *		1	*		I
Y º -Y d				xGwα fα +		2	xwαhα J .
Z		1		H	F		*		K	*	I
*	+		xhαhα					+	1
wα Dα + hα fα		2			= sG wα fα				2	xwαhα J ,
					H						K

Иначе говоря,

ãäå

(15.7.24).

(15.7.25)

(15.7.26)

Из нильпотентности БРСТ преобразования немедленно вытекает, что слагаемые sY è òd4xL БРСТ инвариантны.

В определенном смысле верен и обратный результат. В разделе 17.2. мы увидим, что перенормируемый лагранжиан, подчиняю-

15.7. БРСТ симметрия

45

щийся БРСТ инвариантности и другим симметриям лагранжиана (15.7.25), должен имет вид (17.7.25) с точностью до изменения значе- ний ряда постоянных коэффициентов. Но этого еще недостаточно для доказательства перенормируемости таких теорий. Преобразования БРСТ симметрии действуют на поля нелинейно, и в этом случае нет простой связи между симметриями лагранжиана и симметриями матричных элементов и функций Грина. В разделе 17.2. с помощью развитых в следующей главе методов внешнего поля будет показано, что ультрафиолетово расходящиеся части фейнмановских амплитуд (но не их конечные части) действительно подчиняются условию некоторой перенормированной БРСТинвариантности, и это позволяет завершить доказательство перенормируемости.

Из выражения (15.7.25) следует, что физическое содержание любой калибровочной теории заключено в ядре БРСТ оператора (т. е. в произвольном БРСТ инвариантном выражении òd4xL + sY),

взятом по модулю (т. е. за вычетом — прим. пер.) слагаемых, принадлежащих образу БРСТ преобразования (т. е. слагаемых вида sY).

Для любого нильпотентного преобразования ядро, взятое по модулю образа, определяется как когомология этого преобразования *. То, что физическое содержание калибровочной теории можно отождествить с когомологией БРСТ оператора, можно обосновать еще с одной точки зрения12. Согласно фундаментальному физическому требованию матричные элементы между физическими состояниями должны быть независимы от нашего выбора фиксирующей калибровку функции fα, иными словами, независимы от функционала Y в (15.7.25). Изменение любого матричного элемента áa|bñ за счет изменения ~dY â Y равно

~

b

= i a

~

b

= i a

~

b .

(15.7.27)

d a

dIÍÎÂ

sdY

(Мы используем тильду, чтобы отличить это произвольное изменение фиксирующей калибровку функции от калибровочного или БРСТ преобразования.) Можно ввести фермионный БРСТ «заряд» Q, определенный так, что для любого полевого оператора F

* Другими словами, когомология нильпотентного преобразования есть фактор ядра этого преобразования по его образу. — Прим. ред.

46	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

δθΦ = i[θQ, Φ] = iθ[Q, Φ]m ,

или иначе

Q Φ	]m	= isΦ	,	(15.7.28)
[ ,

где знаки – или + соответствуют бозонному или фермионному Y.

Из нильпотентности преобразования БРСТ следует:

0 = −ssΦ = [Q, [Q, Φ]m ]± = [Q2 , Φ]− .

Чтобы эти формулы были верны для любых операторов F, необходимо, чтобы Q2 было либо равно нулю, либо пропорционально единичному оператору. Но последнее невозможно, так как Q2 обладает ненулевым гостовским квантовым числом *, следовательно Q2 должно обратиться в нуль:

Q2 = 0.

(15.7.29)

Из выражений (15.7.27) и (15.7.28) имеем:

d a b = a [ , dY] b .
~	Q ~	(15.7.30)

Чтобы это выражение было равно нулю для всех изменений ~dY â Y, необходимо, чтобы

α		Q = Q		β = 0 .	(15.7.31)

Таким образом, физические состояния находятся в ядре нильпотентного оператора Q. Два физических состояния, отличающихся только на вектор состояния в образе Q, т. е. вида Q|...ñ, очевидно,

имеют одни и те же матричные элементы со всеми другими физи- ческими состояниями и, следовательно, физически эквивалентны. Отсюда независимые физические состояния соответствуют состояниям, принадлежащим фактору ядра Q по образу Q, т. е. соответствуют когомологии Q.

* Напомним, что гостовское квантовое число определяется равным +1 для ωα, – 1 äëÿ ω*α и 0 для всех калибровочных полей и полей материи.

15.7. БРСТ симметрия

47

Чтобы понять, как это используется на практике, рассмотрим простой пример из чистой электродинамики *. Выбирая фиксирующую калибровку функцию как f = ∂mAm и интегрируя по вспомо-

гательному полю h, находим, что БРСТ преобразование (15.7.8)– (15.7.10) имеет вид

sA

m

= ∂

m

ω, sω* = ∂

m

Aμ / ξ , sω = 0.

Разложим поля по нормальным модам **:

X

d

3

p

Am (x) = (2π)-3/2 Y

am (p)eip×x + am* (p)e-ip×x

,

2p0

Z

X

3

p

ω(x) = (2π)-3/2 Y

d

c(p)eip×x + c* (p)e-ip×x

,

2p0

Z

X

3

p

ω* (x) = (2π)-3/2 Y

d

b(p)eip×x + b* (p)e-ip×x

,

2p0

Z

(15.7.32)

(15.7.33)

Сравнивая коэффициенты при e±ip×x с двух сторон в уравнении

(15.7.28), имеем:

Q, am (p) - = −pmc(p), Q, am* (p) - = pmc* (p),

= pma

= pma*

Q, b(p)

m

(p) / ξ,

Q, b* (p)

(p) / ξ,

+

+

m

(15.7.34)

Q, c(p)

+

=

Q, c* (p)

+

= 0.

*Из формул (15.6.11) и (15.6.7) следует, что поскольку структурные константы в электродинамике равны нулю, поля гостов не взаимодействуют с другими полями. Тем не менее электродинамика является хорошим примером использования БРСТ симметрии для нахождения физических состояний. Действительно, анализируя условия физичности для ин- и аут-состо- яний, мы пренебрегаем взаимодействиями, так что для этой цели неабелевая калибровочная теория может трактоваться как несколько копий квантовой электродинамики.

*Точно так же, как ω*(x) не следует рассматривать как эрмитово сопряженную величину к ω(x), коэффициенты b* и c* не являются сопряженными к c и b. Но так как Aμ(x) эрмитово, то ω(x) также эрмитово при

условии, что оператор Q эрмитов.

48	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

Рассмотрим любое состояние |yñ, удовлетворяющее условию фи-

зичности (15.7.31):

| yñ = 0 .	(15.7.35)
Q

Тогда состояния |e,yñ = eμaμ*(p)|yñ с одним дополнительным фотоном удовлетворяет условию физичности Q|e,yñ = 0, åñëè eμpμ = 0. Кроме того, состояние |yñ¢ º b*(p)|yñ удовлетворяет условию

Q| yñ¢ = pμaμ* (p)| yñ / x ,

(15.7.36)

òàê ÷òî |e+ap,yñ = |e,yñ + xaQ|yñ¢ и поэтому физически эквивалентно |e,yñ. Отсюда мы заключаем, что eμ физически эквивалентно eμ + apμ, что представляет обычное условие «калибровочной инвариант-

ности», накладываемое на векторы поляризации фотона. С другой стороны,

Qb* (p)| yñ = pμa* (p)| yñ ¹ 0 ,

òàê ÷òî b*|yñ не удовлетворяет условию физичности 915.7.31). Кроме того, для любого eμ ñ e×p ¹ 0 имеем

c* (p)| yñ = Qeμa*μ (p)| yñ / e × p ,

òàê ÷òî c*|yñ является БРСТ точным *, а следовательно эквивален-

тным нулю. Таким образом, физическое гильбертово пространство свободно от гостов и антигостов.

Чтобы сохранить лоренц-инвариантность, следует интерпретировать все четыре компоненты aμ(p) как операторы уничтожения

в том смысле, что

0 = aμ (p)|0ñ,

(15.7.37)

ãäå |0ñ — БРСТ инвариантное вакуумное состояние. Но каноничес-

кие коммутационные соотношения, выведенные из БРСТ инвариантного действия (скажем, при x = 1) имеют вид

* На языке теории когомологий, вектор является БРСТ точным, если он принадлежит образу нильпотентного БРСТ оператора. — Прим. ред.

15.7. БРСТ симметрия	49
[aμ (p), a*ν (p¢)]− = hμνd3 (p - p¢),	(15.7.38)

и соответствуют пропагатору в фейнмановской калибровке. Это нарушает обычные требования положительности в квантовой механике, так как из (15.7.37) и (15.7.38) вытекает 13, ÷òî

á0| a0 (p)a0* (p¢)|0ñ = -á0|0ñ .

(15.7.39)

Тем не менее, мы можем быть уверенными, что все амплитуды между физическими состояниями удовлетворяют обычным условиям положительности, так как эти состояния удовлетворяют (15.7.31), а для таких состояний амплитуды перехода совпадают с теми, которые получаются в более физичных калибровках типа кулоновской или аксиальной, в которых не возникает проблем с положительностью или унитарностью.

Рассмотренный до сих пор формализм Фаддеева–Попова–де Витта с необходимостью приводит к действию, билинейному по полям гостов w*α è wα. Это адекватно перенормируемым теориям Янга- Миллса с фиксирующей калибровку функцией fα = ¶μAμα, íî íå

годится в более общих случаях. Например, как мы увидим в разделе 17.2, в других калибровках перенормируемые теории Янга-Мил- лса нуждаются в наличии слагаемых w*w*ww в лагранжиане, кото-

рые служили бы контрчленами для сокращения ультрафиолетовых расходимостей в петлевых диаграммах с четырьмя внешними линиями гостов.

К счастью, формализм Фаддеева-Попова-де Витта представ-

ляет только один из способов построения некоторого класса эквивалентных лагранжианов, приводящих к одной и той же унитарной S-матрице. Более общим подходом является БРСТ формализм, который позволяет вообще обойтись без формализма Фаддеева-Ïî- ïîâà-е Витта. В этом подходе действие выбирается как самый об-

щий локальный функционал полей материи, калибровочных полей, полей wA, w*A è hA с гостовским числом нуль, инвариантный отно-

сительно БРСТ преобразования (15.7.7)–(15.7.11) и относительно любой другой глобальной симметрии теории. (Для перенормируемых теорий следует также ограничиться лагранжианами, которые являются операторами размерности четыре или меньше, однако это ограничение не играет никакой роли в последующем обсуждении.) Мы докажем в следующем разделе, что в рамках более широких,

50	Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

чем теории Янга–Миллса, наиболее общиее действие такого рода есть сумма функционала только полей материи и калибровочных полей (коллективно обозначаемых ϕ) и слагаемого, которое опреде-

ляется действием БРСТ оператора s на произвольный функционал Ψ с гостовским числом –1:

I	NEW	[ϕ,ω,ω*, h] = I	[ϕ] + sΨ[ϕ,ω,ω*, h],	(15.7.40)
		0

как это и было в случае действия Фаддеева−Попова−де Витта (15.7.25), но теперь sΨ не обязательно билинейно по полям гостов и

антигостов.

По тем же соображениям, что и выше, элементы S-матрицы для состояний, обращающихся в нуль под действием генератора БРСТ симметрии Q, не зависят от выбора Ψ в (15.7.40). Поэтому, если при некотором выборе Ψ госты отщепляются, они отщепляются и в общем случае. В теориях Янга–Миллса такой функционал Ψ

обеспечивается квантованием в аксиальной калибровке, так что в этих теориях госты отщепляются при произвольном выборе функционала Ψ[ϕ,ω,ω*,h], а не только при выборе типа (15.7.25), порождаемом формализмом Фаддеева−Попова−де Витта.

Можно пойти еще дальше и освободиться от всякой зависимости от канонического квантования в лоренц-неинвариантных калибровках типа аксиальной. Пусть действие есть наиболее общий функционал полей материи, калибровочных полей и полей ωA, ω*A è hA c гостовским числом нуль, инвариантный относительно БРСТ преобразования (15.7.7)–(15.7.11) и относительно других глобальных симметрий теории, включая лоренцовскую интвариантность. Из БРСТ инвариантности действия можно вывести существование сохраняющегося нильпотентного БРСТ генератора Q. Если считать поля гостов и антигостов эрмитовыми, то Q эрмитов. Как и выше, пространство физических состояний включает те состояния, которые уничтожаются действием оператора Q, причем два состояния счи- таются эквивалентными, если их разность есть результат действия оператора Q на другое состояние. Было показано, что для янг−миллсовских теорий такое пространство свободно от гостов и

антигостов и обладает положительно определенной нормой, и что S-матрица в этом пространстве унитарна.13à

Описанная процедура известна как БРСТ квантование. Она была распространена на теории с другими локальными симметрия-

15.8. Обобщения БРСТ симметрии

51

ми, такими, как общая теория относительности и теории струн. К сожалению, в настоящее время представляется, что в каждом случае необходимо отдельно доказывать, что БРСТ когомология свободна от гостов, а действующая в этом пространстве S-матрица унитарна. Ключевым моментом этих доказательств является то, что для каждой степени свободы с отрицательной нормой, например, для временных компонент калибровочных полей в теориях Янга– Миллса, существует одна локальная симметрия, позволяющая оттрансформировать эту степень свободы.

* * *

Хотя далее это и не понадобится, существует красивая геометрическая интерпретация14 гостов и БРСТ симметрии, о которой стоит упомянуть. Калибровочные поля Aμα можно записать как 1- формы Aα ≡ Aαμdxμ, ãäå dxμ – множество антикоммутирующих с-

чисел (см. раздел 5.8). Эти формы можно скомбинировать с гостовским полем и образовать 1-форму Aα ≡ Aα + ωα в расширенном пространстве. Кроме того, обычную внешнюю производную d ≡ dxμ∂/ ∂xμ можно объединить с БРСТ оператором s, образовав действующую в этом пространстве внешнюю производную D ≡ d + s, которая

нильпотентна, поскольку s2 = d2 = sd + ds = 0.

В следующей главе мы введем в рассмотрение методы внешнего поля, которые в совокупности с БРСТ симметрией будут использованы в гл. 17 для завершения доказательства перенормируемости неабелевых калибровочных теорий.

15.8. Обобщения БРСТ симметрии *

Описанная в предыдущем разделе БРСТ симметрия допускает полезное обобщение на случай квантования широкого класса теорий, включая общую теорию относительности и теории струн. Во всех этих случаях мы имеем дело с действием I[ϕ] и мерой [dϕ] ≡ ∏rdϕr, инвариантными относительно инфинитезимальных пре-

образований

*Этот раздел лежит несколько в стороне от основной линии изложения

èможет быть опущен при первом чтении.

52 Глава 15. Неабелевы калибровочные теории

ϕ r → ϕ r + ε Aδ

A

ϕ r .

(15.8.1)

Здесь используется сокращенная система «обозначений де Витта» *, в которой r и A включают как пространственно-временные координаты, так и дискретные индексы, а суммы включают интегралы по этим координатам. Например, для калибровочного преобразования (15.1.9) индекс А включает групповой индекс α и пространственновременную координату x, причем εαx ≡ εα(x), а индекс r содержит векторный индекс μ, а также групповой индекс α и пространствен- но-временную координату x, так что ϕμαx ≡ Aμα(x). В обозначениях, введенных в (15.8.1), вариация δAϕr из преобразования (15.1.9) запи-

шется в виде

	δβγ ϕμαx = δβα	∂	δ4	(x − y) + Cβ γαϕμγxδ4 (x − y) .
		∂xμ

Как и в рассмотренном в предыдущем разделе частном случае теорий Янга–Миллса, БРСТ-инвариантность можно использовать как замену формулировки Фаддеева–Попова–де Витта, которая применима даже тогда, когда подход Фаддеева–Попова–де Витта теряет силу. Тем не менее, чтобы обосновать введение БРСТ-инвари- антности, начнем с формулировки Фаддеева–Попова–де Витта теорий с произвольными локальными симметриями, а затем перейдем к рассмотрению дальнейших обобщений.

Следуя тем же рассуждениям, которые использовались при выводе формулы (15.5.21), получим обобщенную теорему Фаддее- ва–Попова–де Витта:

C X ϕ iI[ϕ] ϕ =

Y [d ]e V[ ]

Ω Z

X Y Z

[dϕ]eiI[ϕ]B		f[ϕ]		Det(δ	f [ϕ])V[ϕ],	(15.8.2)
					A B

Здесь V[ϕ] – произвольный функционал от ϕr, инвариантный относительно калибровочных преобразований (15.8.1), fA[ϕ] – множество функционалов ϕr, фиксирующих калибровку и выбранных так, что «матрица» δAfB[ϕ] имеет отличный от нуля детерминант, а

B[f] — более или менее произвольный функционал fA (например,

* Эти обозначения часто называют «конденсированными». — Прим. ред.